Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Queremos encontrar o posto de (que é a dimensão da imagem de ) e a nulidade de (que é a dimensão do núcleo de ). Para resolver isso, vamos trabalhar com matrizes e conceitos de espaço vetorial.
Passo 2
A transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho , onde cada coluna corresponde aos coeficientes das variáveis nas expressões de . Vamos escrever a matriz :
Passo 3
Para encontrar o posto de , precisamos determinar a quantidade de colunas linearmente independentes na matriz . Vamos calcular o posto de usando a forma escalonada por linhas (redução de linha) para simplificar a matriz.
Passo 4
Aplicando operações de linha para obter a forma escalonada: