Seja T: R^5 R^4 dada por
T(x, y, z, w, t)=(x-y+z-w+t,-x+y-z+w, x-y+z,-x+y)
O POSTO de T (dimensão da imagem de T ) e a NULIDADE de T (dimensão do núcleo de T) são respectivamente:
(A) 0 e 0
(B) 0 e 5
© 0 e 4
(D) 1 e 1
(E) 1 e 4
(F) 1 e 3
(G) 2 e 2
(H) 2 e 3
(I) 3 e 3
(J) 3 e 2
(K) 3 e 1
(L) 4 e 4
(M) 4 e 1
(N) 4 e 0
(O) 5 e 5
§ 5 e 0
(Q) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Queremos encontrar o posto de (que é a dimensão da imagem de ) e a nulidade de (que é a dimensão do núcleo de ). Para resolver isso, vamos trabalhar com matrizes e conceitos de espaço vetorial.

Passo 2

A transformação linear A = 1 & -1 & 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0 pode ser representada por uma matriz de tamanho , onde cada coluna corresponde aos coeficientes das variáveis nas expressões de . Vamos escrever a matriz :

Passo 3

Para encontrar o posto de , precisamos determinar a quantidade de colunas linearmente independentes na matriz . Vamos calcular o posto de usando a forma escalonada por linhas (redução de linha) para simplificar a matriz.

Passo 4

Aplicando operações de linha para obter a forma escalonada:
  1. Deixe a primeira linha como está.
  2. Some a primeira linha à segunda linha:
1 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0
  1. Subtraia a primeira linha da terceira linha:
1 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 0 & 0
  1. Some a primeira linha à quarta linha:
1 & -1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & -1 & 1

Passo 5

Agora, verificamos as linhas não nulas na matriz escalonada. Temos três linhas com elementos diferentes de zero. Portanto, o posto de é 3.

Passo 6

Sabendo que a dimensão do espaço de partida é 5 e o posto de Dimensão do domínio = Posto + Nulidade é 3, usamos o Teorema da Dimensão, que diz que:
5 = 3 + Nulidade implies Nulidade = 2 ãí
Então:

Resposta

3 e 2

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