Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(-y+3 z, 2 x-z, y+z).
(4-c) A SOMA DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL da matriz [S circ T]alpha^alpha pertence a qual dos intervalos abaixo?
Opções:
(A) (-infty,-11]
(B) (-11,-8]
© (-8,-5]
(D) (-5,-2]
(E) (-2,0]
(F) (0,2]
(G) (2,5]
(H) (5,8]
(I) (8,11]
(J) (11,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transformações lineares, que faz parte da álgebra linear. A questão pede para encontrar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz da transformação composta . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear em forma de matriz e depois calcular a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear S(x, y, z) = (-y + 3z, 2x - z, y + z) pega um vetor de 3 dimensões e o transforma em outro vetor de 3 dimensões de acordo com certas regras. No seu caso, a transformação é definida por:
Para representar essa transformação como uma matriz, precisamos expressar cada componente de em termos das variáveis , e .

Passo 3

Vamos montar a matriz de S = 0 & -1 & 3 2 & 0 & -1 0 & 1 & 1 . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de , e nas expressões de :
Aqui, a primeira coluna representa os coeficientes de , a segunda coluna representa os coeficientes de , e a terceira coluna representa os coeficientes de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz. A diagonal principal são os elementos que vão do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. No caso da matriz 0, 0, 1 , os elementos da diagonal principal são:
0 + 0 + 1 = 1
Então, a soma desses elementos é:

Resposta

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz é igual a 1, o que pertence ao intervalo (0, 2]. Portanto, a opção correta é a letra (F) .

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