Sendo A(-2,1,3) e B(6,-7,1) extremidades de um segmento, determinar:
a) os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento;
b) os pontos F e G, nesta ordem, que dividem o segmento A B em três partes de mesmo comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço, A(-2, 1, 3) e B(6, -7, 1), que formam um segmento de reta. O objetivo é encontrar os pontos que dividem esse segmento em partes iguais. Para a parte (a), precisamos achar três pontos, C, D e E, que dividem o segmento AB em quatro partes iguais. Já na parte (b), são dois pontos, F e G, que dividem AB em três partes iguais. Vamos usar um pouco de geometria analítica pra isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como dividir um segmento de reta em partes iguais. Se a gente quer dividir AB em “n” partes iguais, a gente pode usar a fórmula da divisão de segmento. Essa fórmula nos permite achar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento em razão específica. A fórmula geral para dividir o segmento AB em m partes iguais é:
P = A + km cdot (B - A)
Onde:
  • é o ponto que queremos encontrar.
  • e são as coordenadas dos pontos finais.
  • é a parte em que estamos dividindo, variando de 1 até m-1.

Passo 3

Vamos aplicar isso para a parte (a), onde queremos três pontos (C, D e E) que dividem AB em quatro partes iguais. Aqui, m = 4 e k varia de 1 a 3.
Primeiro, vamos calcular o vetor B - A = (6 - (-2), -7 - 1, 1 - 3) = (8, -8, -2) :
C = A + 14 cdot (B - A) = (-2, 1, 3) + 14 cdot (8, -8, -2) = (-2 + 2, 1 - 2, 3 - 0.5) = (0, -1, 2.5)
Agora, para cada ponto C, D e E:
  • Ponto C (k=1):
D = A + 24 cdot (B - A) = (-2, 1, 3) + 12 cdot (8, -8, -2) = (-2 + 4, 1 - 4, 3 - 1) = (2, -3, 2)
  • Ponto D (k=2):
E = A + 34 cdot (B - A) = (-2, 1, 3) + 34 cdot (8, -8, -2) = (-2 + 6, 1 - 6, 3 - 1.5) = (4, -5, 1.5)
  • Ponto E (k=3):

Resposta

a) Os pontos que dividem AB em quatro partes iguais são:
  • F = A + 13 cdot (B - A) = (-2, 1, 3) + 13 cdot (8, -8, -2) = (-2 + 83, 1 - 83, 3 - 23) = (23, -53, 73)
  • G = A + 23 cdot (B - A) = (-2, 1, 3) + 23 cdot (8, -8, -2) = (-2 + 163, 1 - 163, 3 - 43) = (103, -133, 53)
b) Para dividir AB em três partes iguais, vamos seguir o mesmo processo com m = 3 e k = 1, 2.
Primeiro, o vetor .
  • Ponto F (k=1):
  • Ponto G (k=2):
b) Os pontos que dividem AB em três partes iguais são:

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