Sendo
e
extremidades de um segmento, determinar:
a) os pontos
e
, nesta ordem, que dividem o segmento
em quatro partes de mesmo comprimento;
b) os pontos
e
, nesta ordem, que dividem o segmento
em três partes de mesmo comprimento.
a) os pontos
b) os pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço, A(-2, 1, 3) e B(6, -7, 1), que formam um segmento de reta. O objetivo é encontrar os pontos que dividem esse segmento em partes iguais. Para a parte (a), precisamos achar três pontos, C, D e E, que dividem o segmento AB em quatro partes iguais. Já na parte (b), são dois pontos, F e G, que dividem AB em três partes iguais. Vamos usar um pouco de geometria analítica pra isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como dividir um segmento de reta em partes iguais. Se a gente quer dividir AB em “n” partes iguais, a gente pode usar a fórmula da divisão de segmento. Essa fórmula nos permite achar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento em razão específica. A fórmula geral para dividir o segmento AB em m partes iguais é:
Onde:
-
é o ponto que queremos encontrar. -
e são as coordenadas dos pontos finais. -
é a parte em que estamos dividindo, variando de 1 até m-1.
Passo 3
Vamos aplicar isso para a parte (a), onde queremos três pontos (C, D e E) que dividem AB em quatro partes iguais. Aqui, m = 4 e k varia de 1 a 3.
Primeiro, vamos calcular o vetor
:
Agora, para cada ponto C, D e E:
- Ponto C (k=1):
- Ponto D (k=2):
- Ponto E (k=3):
Resposta
a) Os pontos que dividem AB em quatro partes iguais são:
b) Para dividir AB em três partes iguais, vamos seguir o mesmo processo com m = 3 e k = 1, 2.
Primeiro, o vetor
.
- Ponto F (k=1):
- Ponto G (k=2):
b) Os pontos que dividem AB em três partes iguais são: