Dados os vetores u=(2,3,1) e v=(1,5,-3), calcule:
(a) O produto interno u.v;
(b) O produto vetorial u times v;
© A área do paralelogramo formado pelos vetores u e v.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e precisamos calcular três coisas: o produto interno , o produto vetorial e a área do paralelogramo formado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular produto interno, produto vetorial e como encontrar a área usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno u cdot v = (2)(1) + (3)(5) + (1)(-3) . O produto interno de dois vetores é a soma do produto de suas componentes correspondentes. Então, temos:
u cdot v = 2 + 15 - 3 = 14
Calculando isso:

Passo 3

Agora, vamos ao produto vetorial u times v = i & j & k 2 & 3 & 1 1 & 5 & -3 . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos vetores originais. Para calcular isso, usamos a matriz determinante:
u times v = i(3 cdot (-3) - 1 cdot 5) - j(2 cdot (-3) - 1 cdot 1) + k(2 cdot 5 - 3 cdot 1)
Explicando, expandimos a matriz:
u times v = i(-9 - 5) - j(-6 - 1) + k(10 - 3)
Calculando cada parte:
u times v = i(-14) + j(7) + k(7)
u times v = (-14, 7, 7)

Passo 4

Por fim, vamos calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores |u times v| = raiz(-14)^2 + 7^2 + 7^2 e |u times v| = raiz196 + 49 + 49 . A área desse paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial |u times v| = raiz294 . Primeiro, encontramos o módulo do vetor |u times v| = 17.146 :

Resposta

(a)
(b)
© A área do paralelogramo é aproximadamente unidades quadradas.

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