Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três coisas: se o zero está em
, se
é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição do conjunto:
Então,
satisfaz a condição
, ou seja, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado em relação à adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se essa soma satisfaz a condição de
:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar qualquer vetor em
e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar. Então:
Vamos multiplicar
por
:
Agora, verificamos a condição de
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcule:
(a) O produto interno u.v;
(b) O produto vetorial ;
© A área do paralelogramo formado pelos vetores e
.
(a) O produto interno u.v;
(b) O produto vetorial
© A área do paralelogramo formado pelos vetores
Use vetores para mostrar que
e
são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?
Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto
do espaço vetorial
é L.I. ou L.D.
(b) .
(b)
Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.
(a) vetores de