Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2: W=(x, y) ; x+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três coisas: se o zero está em , se é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em x + y = 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição do conjunto:
Então, satisfaz a condição , ou seja, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0 é fechado em relação à adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) , a soma deles também deve estar em (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0 .
Sejam e em . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos se essa soma satisfaz a condição de :
Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se x + y = 0 é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar qualquer vetor em c cdot u = (c x, c y) e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar em c x + c y = c (x + y) = c cdot 0 = 0 .
Seja em e um escalar. Então:
Vamos multiplicar por :
Agora, verificamos a condição de :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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