Verifique, em cada caso, se o conjunto é um subespaço vetorial de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três coisas: se o zero está em , se é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição do conjunto:
Então, satisfaz a condição , ou seja, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado em relação à adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos se essa soma satisfaz a condição de :
Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente pegar qualquer vetor em e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar. Então:
Vamos multiplicar por :
Agora, verificamos a condição de :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcule:
(a) O produto interno u.v;
(b) O produto vetorial ;
© A área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Use vetores para mostrar que e são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?
Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto do espaço vetorial é L.I. ou L.D.
(b) .
Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais abaixo e então calcule sua dimensão.
(a) vetores de nos quais a segunda, a quarta e a sexta coordenadas são iguais.