Verifique, em cada um dos itens a seguir, se o subconjunto do espaço vetorial é L.I. ou L.D.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que está pedindo esse exercício. A gente tem um subconjunto dentro do espaço vetorial , que são os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A questão é descobrir se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa essas duas situações e como verificar isso usando uma combinação linear dos vetores (neste caso, dos polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é Linearmente Independente e Dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente se nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Ou seja, a única solução para a equação é . Se existir alguma combinação não trivial (algum diferente de zero) que satisfaça essa equação, então o conjunto é Linearmente Dependente.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos polinômios. Temos:
Nosso objetivo é encontrar valores para e que satisfaçam essa equação. Se a única solução for , então é L.I. Caso contrário, é L.D.
Passo 4
Vamos expandir a combinação linear:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja igual ao polinômio zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação:
Substituindo isso na segunda equação:
E então, substituindo na primeira equação:
Passo 6
Encontramos que a única solução possível é e . Isso significa que não existe uma combinação não trivial dos polinômios que resulte no polinômio zero.