Encontre um ponto inicial de um vetor não nulo com ponto final Q(3,0,-5) tal que u tem a mesma direção, mas sentido oposto ao de v=(4,-2,-1).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o ponto final e um vetor não nulo . Queremos encontrar o ponto inicial desse vetor, sabendo que tem a mesma direção, mas sentido oposto ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, direção e sentido, além de trabalhar com coordenadas no espaço tridimensional.
Passo 2
Sabemos que se dois vetores têm a mesma direção, mas sentidos opostos, um pode ser representado como um múltiplo escalar negativo do outro. Ou seja, podemos escrever:
u = -k v
onde é um número real positivo.
Passo 3
Vamos expressar o vetor u = PQ = (3 - xP, , 0 - yP, , -5 - zP) em termos das coordenadas dos pontos u = -k (4, -2, -1) = (-4k, , 2k, , k) e :
Segundo a relação que estabelecemos no passo anterior:
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
3 - xP = -4k 0 - yP = 2k -5 - zP = k
Vamos resolver cada equação para xP = 3 + 4k yP = -2k zP = -5 - k , e :
Passo 5
Escolhemos um valor para xP = 3 + 4(1) = 7 yP = -2(1) = -2 zP = -5 - 1 = -6 que simplifique os cálculos. Podemos escolher (já que pode ser qualquer número positivo):