Encontre um ponto inicial P de um vetor não nulo u=P Q com ponto final Q(3,0,-5) tal que u tem a mesma direção, mas sentido oposto ao de v=(4,-2,-1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o ponto final e um vetor não nulo . Queremos encontrar o ponto inicial desse vetor, sabendo que tem a mesma direção, mas sentido oposto ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, direção e sentido, além de trabalhar com coordenadas no espaço tridimensional.

Passo 2

Sabemos que se dois vetores têm a mesma direção, mas sentidos opostos, um pode ser representado como um múltiplo escalar negativo do outro. Ou seja, podemos escrever:
u = -k v
onde é um número real positivo.

Passo 3

Vamos expressar o vetor u = PQ = (3 - xP, , 0 - yP, , -5 - zP) em termos das coordenadas dos pontos u = -k (4, -2, -1) = (-4k, , 2k, , k) e :
Segundo a relação que estabelecemos no passo anterior:

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
3 - xP = -4k 0 - yP = 2k -5 - zP = k
Vamos resolver cada equação para xP = 3 + 4k yP = -2k zP = -5 - k , e :

Passo 5

Escolhemos um valor para xP = 3 + 4(1) = 7 yP = -2(1) = -2 zP = -5 - 1 = -6 que simplifique os cálculos. Podemos escolher (já que pode ser qualquer número positivo):

Resposta

O ponto inicial é .

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