Dados os vetores u=(2,-1,3) e v=(-2,1,2). Determine:
a) O ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício sobre vetores. O que a gente precisa fazer é encontrar o ângulo entre os vetores u = (2, -1, 3) e v = (-2, 1, 2). Para resolver isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores com suas magnitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo os valores:
u cdot v = (2)(-2) + (-1)(1) + (3)(2) = -4 -1 +6 = 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes dos vetores u e v. A magnitude de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Calculando para u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
E para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = 1raiz14 cdot 3 = 13raiz14

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno:
theta = arccos(13raiz14)
Calculando isso com a calculadora:
theta approx arccos(13 times 3.7417) approx arccos(0.0894) approx 84.9^circ

Resposta

O ângulo entre u e v é aproximadamente 84,9^circ.

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