Determine a área do triângulo cujos vértices são A=(3,2,-1), B= (1,-2,1) e C=(1,-1,2).

Passo 1

Vamos determinar a área de um triângulo no espaço tridimensional. Temos os vértices , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de figuras no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que representem os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (1 - 3, -2 - 2, 1 - (-1)) = (-2, -4, 2) e AC = C - A = (1 - 3, -1 - 2, 2 - (-1)) = (-2, -3, 3) .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de dois vetores u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) e AB times AC = ( (-4)(3) - (2)(-3), 2(-2) - (-2)(3), (-2)(-3) - (-4)(-2) ) é dado por:
= (-12 + 6, -4 + 6, 6 - 8) = (-6, 2, -2)
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 4

A magnitude do produto vetorial nos dá o dobro da área do triângulo. Vamos calcular a magnitude do vetor resultante | AB times AC | = raiz(-6)^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz36 + 4 + 4 = raiz44 = 2raiz11 :

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial:
Área = 12 times 2raiz11 = raiz11 Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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