Mostra que se A é um conjunto gerador de um espaço vetorial E e B € o conjunto que A, então B é um conjunto gerador de E.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial e um conjunto que é um conjunto gerador de . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores em . Agora, temos um outro conjunto que pertence a (ou seja, ). O objetivo é mostrar que também é um conjunto gerador de .

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um conjunto ser gerador. Um conjunto v = a1 v1 + a2 v2 + cdots + an vn é gerador de se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, existem escalares tais que:
onde são vetores em .

Passo 3

Como , os vetores de também estão em . Para mostrar que é gerador de , precisamos provar que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .

Passo 4

Sabemos que gera , então para qualquer , existe uma combinação linear dos vetores de que resulta em . Como , todos os vetores usados na combinação linear para estão também em .

Passo 5

Assim, a combinação linear que expressa usando vetores de pode ser reescrita usando apenas os vetores de , já que contém todos os vetores necessários para gerar .

Resposta

Portanto, concluímos que é um conjunto gerador de .

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