Mostra que se é um conjunto gerador de um espaço vetorial e € o conjunto que , então é um conjunto gerador de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial e um conjunto que é um conjunto gerador de . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores em . Agora, temos um outro conjunto que pertence a (ou seja, ). O objetivo é mostrar que também é um conjunto gerador de .
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um conjunto ser gerador. Um conjunto é gerador de se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, existem escalares tais que:
onde são vetores em .
Passo 3
Como , os vetores de também estão em . Para mostrar que é gerador de , precisamos provar que qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .
Passo 4
Sabemos que gera , então para qualquer , existe uma combinação linear dos vetores de que resulta em . Como , todos os vetores usados na combinação linear para estão também em .
Passo 5
Assim, a combinação linear que expressa usando vetores de pode ser reescrita usando apenas os vetores de , já que contém todos os vetores necessários para gerar .
Resposta
Portanto, concluímos que é um conjunto gerador de .