Mostra que se
é um conjunto gerador de um espaço vetorial
e
€ o conjunto que
, então
é um conjunto gerador de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial
e um conjunto
que é um conjunto gerador de
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores em
. Agora, temos um outro conjunto
que pertence a
(ou seja,
). O objetivo é mostrar que
também é um conjunto gerador de
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um conjunto ser gerador. Um conjunto
é gerador de
se qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de
. Ou seja, existem escalares
tais que:
onde
são vetores em
.
Passo 3
Como
, os vetores de
também estão em
. Para mostrar que
é gerador de
, precisamos provar que qualquer vetor
em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
.
Passo 4
Sabemos que
gera
, então para qualquer
, existe uma combinação linear dos vetores de
que resulta em
. Como
, todos os vetores usados na combinação linear para
estão também em
.
Passo 5
Assim, a combinação linear que expressa
usando vetores de
pode ser reescrita usando apenas os vetores de
, já que
contém todos os vetores necessários para gerar
.
Resposta
Portanto, concluímos que
é um conjunto gerador de
.