Dados os vetores e determine e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a projeção de um vetor sobre o outro. Mais especificamente, vamos calcular e , onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é projeção de vetores e como calcular isso usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor sobre outro. A projeção de um vetor sobre um vetor , denotada por , é o vetor que vai na direção de e representa a “sombra” de sobre . Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e é a norma (ou comprimento) do vetor .

Passo 3

Vamos primeiro calcular . Para isso, precisamos do produto escalar de com e da norma de ao quadrado.
Calculando o produto escalar :
Agora, calculando a norma de ao quadrado:
Então, a projeção é:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Novamente, precisamos do produto escalar de com e da norma de ao quadrado.
Já sabemos que .
Calculando a norma de ao quadrado:
Então, a projeção é:

Resposta

A projeção de sobre é e a projeção de sobre é .

Exercícios relacionados

Determine os auto-valores e os correspondentes auto-vetores das matrizes abaixo:
Determine os auto-valores e os correspondentes auto-vetores das matrizes abaixo:
Verifique se cada vetor é unitário na norma indicada. Caso negativo, normalize :
dado por , na norma
Seja . Então calcule , onde
(a) .