Dados os vetores
e
determine
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a projeção de um vetor sobre o outro. Mais especificamente, vamos calcular
e
, onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é projeção de vetores e como calcular isso usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor sobre outro. A projeção de um vetor
sobre um vetor
, denotada por
, é o vetor que vai na direção de
e representa a “sombra” de
sobre
. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores e
é a norma (ou comprimento) do vetor
.
Passo 3
Vamos primeiro calcular
. Para isso, precisamos do produto escalar de
com
e da norma de
ao quadrado.
Calculando o produto escalar
:
Agora, calculando a norma de
ao quadrado:
Então, a projeção é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Novamente, precisamos do produto escalar de
com
e da norma de
ao quadrado.
Já sabemos que
.
Calculando a norma de
ao quadrado:
Então, a projeção é:
Resposta
A projeção de
sobre
é
e a projeção de
sobre
é
.