Dados os vetores u=(3,0,1) e v=(-2,1,2) determine Proju v e Projv u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a projeção de um vetor sobre o outro. Mais especificamente, vamos calcular Proju v e Projv u, onde u = (3,0,1) e v = (-2,1,2). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é projeção de vetores e como calcular isso usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor sobre outro. A projeção de um vetor a sobre um vetor b, denotada por Projb a, é o vetor que vai na direção de b e representa a “sombra” de a sobre b. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Projb a = ( a cdot b||b||^2 ) b
Aqui, a cdot b é o produto escalar dos vetores e ||b|| é a norma (ou comprimento) do vetor b.

Passo 3

Vamos primeiro calcular Proju v. Para isso, precisamos do produto escalar de v com u e da norma de u ao quadrado.
Calculando o produto escalar v cdot u:
v cdot u = (-2)(3) + (1)(0) + (2)(1) = -6 + 0 + 2 = -4
Agora, calculando a norma de u ao quadrado:
||u||^2 = 3^2 + 0^2 + 1^2 = 9 + 0 + 1 = 10
Então, a projeção é:
Proju v = ( -410 ) u = -0,4 cdot (3,0,1) = (-1,2, 0, -0,4)

Passo 4

Agora, vamos calcular Projv u. Novamente, precisamos do produto escalar de u com v e da norma de v ao quadrado.
Já sabemos que u cdot v = -4.
Calculando a norma de v ao quadrado:
||v||^2 = (-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9
Então, a projeção é:
Projv u = ( -49 ) v = -49 cdot (-2,1,2) = (89, -49, -89)

Resposta

A projeção de v sobre u é Proju v = (-1,2, 0, -0,4) e a projeção de u sobre v é Projv u = (89, -49, -89).

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