Determine os auto-valores e os correspondentes auto-vetores das matrizes abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os auto-valores e os auto-vetores da matriz . Para isso, vamos precisar entender o que são auto-valores e auto-vetores, e como calculá-los usando determinantes e equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são auto-valores e auto-vetores. Um auto-valor de uma matriz é um número que, quando subtraído da diagonal principal de e calculado o determinante, iguala a zero. O auto-vetor correspondente é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz , resulta no mesmo vetor multiplicado por .
Passo 3
Para encontrar os auto-valores, vamos montar a equação característica: , onde é a matriz identidade. Vamos calcular :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Multiplicando:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação cúbica . Vamos encontrar as raízes dessa equação, que são os auto-valores.
Podemos tentar valores inteiros que divisam o termo constante 6. Testando :
Então, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvendo :
Então, e .
Passo 7
Agora que temos os auto-valores , e , vamos encontrar os auto-vetores correspondentes a cada um deles resolvendo .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Então, da primeira equação, . Escolhemos livre, por exemplo, .
Auto-vetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Escolhemos :
Auto-vetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação: =>
Escolhemos :
Auto-vetor:
Resposta
Os auto-valores e seus correspondentes auto-vetores da matriz são: