Determine os auto-valores e os correspondentes auto-vetores das matrizes abaixo: B=(ccc4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os auto-valores e os auto-vetores da matriz 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 . Para isso, vamos precisar entender o que são auto-valores e auto-vetores, e como calculá-los usando determinantes e equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são auto-valores e auto-vetores. Um auto-valor de uma matriz é um número que, quando subtraído da diagonal principal de e calculado o determinante, iguala a zero. O auto-vetor correspondente é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz , resulta no mesmo vetor multiplicado por .

Passo 3

Para encontrar os auto-valores, vamos montar a equação característica: B - lambda I = 4-lambda & 0 & 1 -2 & 1-lambda & 0 -2 & 0 & 1-lambda , onde é a matriz identidade. Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(B - lambda I) = (4-lambda)[(1-lambda)(1-lambda) - (0)(0)] - 0 + 1[(-2)(0) - (-2)(1-lambda)]
Simplificando:
det(B - lambda I) = (4-lambda)(1-lambda)^2 + 1 cdot 2(1-lambda)

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
(4-lambda)(1 - 2lambda + lambda^2) + 2(1 - lambda) = 0
Multiplicando:
4(1 - 2lambda + lambda^2) - lambda(1 - 2lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda = 0
4 - 8lambda + 4lambda^2 - lambda + 2lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda = 0
- lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação cúbica -1 + 6 - 11 + 6 = 0 . Vamos encontrar as raízes dessa equação, que são os auto-valores.
Podemos tentar valores inteiros que divisam o termo constante 6. Testando - lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = (lambda - 1)(- lambda^2 + 5lambda - 6) :
lambda = -5 pm raiz25 - 24 -2 = -5 pm 1-2
Então, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvendo :
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os auto-valores B - I = 3 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 , 3v1 + v3 = 0 -2v1 = 0 -2v1 = 0 e 0 1 0 , vamos encontrar os auto-vetores correspondentes a cada um deles resolvendo B - 2I = 2 & 0 & 1 -2 & -1 & 0 -2 & 0 & -1 .
Para 2v1 + v3 = 0 -2v1 - v2 = 0 -2v1 - v3 = 0 :
1 -2 -2
Resolvendo o sistema:
B - 3I = 1 & 0 & 1 -2 & -2 & 0 -2 & 0 & -2
Da segunda equação, v1 + v3 = 0 -2v1 - 2v2 = 0 -2v1 - 2v3 = 0 . Então, da primeira equação, 1 -1 -1 . Escolhemos livre, por exemplo, .
Auto-vetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Escolhemos :
Auto-vetor:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação: =>
Escolhemos :
Auto-vetor:

Resposta

Os auto-valores e seus correspondentes auto-vetores da matriz lambda1 = 1, & v1 = 0 1 0 lambda2 = 2, & v2 = 1 -2 -2 lambda3 = 3, & v3 = 1 -1 -1 são:

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