Determine os auto-valores e os correspondentes auto-vetores das matrizes abaixo:
Passo 1
Beleza, você me pediu para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente do estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver algumas equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Simplificamos a equação do determinante:
Isso nos dá duas soluções para
:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos a equação:
onde
é o autovetor.
Passo 6
Primeiro, para
:
A equação
se torna:
Da segunda equação, temos
, ou seja,
. Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Passo 7
Agora, para
:
A equação
se torna:
Da primeira equação,
implica
. Então, podemos escolher
. Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, com os correspondentes autovetores: