Determine os auto-valores e os correspondentes auto-vetores das matrizes abaixo: A=(cc3 & 0 8 & -1)

Passo 1

Beleza, você me pediu para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz 3 & 0 8 & -1. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente do estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver algumas equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 3 - lambda & 0 8 & -1 - lambda :
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-1 - lambda) - (0 times 8) = (3 - lambda)(-1 - lambda)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Simplificamos a equação do determinante:
(3 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Isso nos dá duas soluções para 3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3 :
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada (A - lambda I)v = 0 , resolvemos a equação:
onde é o autovetor.

Passo 6

Primeiro, para A - 3I = 3 - 3 & 0 8 & -1 - 3 = 0 & 0 8 & -4 :
0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 8 cdot v1 - 4 cdot v2 = 0
A equação v1 = 1 2 se torna:
Da segunda equação, temos , ou seja, . Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Passo 7

Agora, para A - (-1)I = A + I = 3 + 1 & 0 8 & -1 + 1 = 4 & 0 8 & 0 :
4 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 8 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
A equação v2 = 0 1 se torna:
Da primeira equação, implica . Então, podemos escolher . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 1 2, v2 = 0 1 são e , com os correspondentes autovetores:

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