Dados os vetores u=(2,-3,-1) e v=(1,-1,4), determine (u+v) cdot(u-v)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve vetores. Especificamente, temos dois vetores: u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4). A gente precisa descobrir o resultado do produto escalar de (u + v) com (u - v). Para isso, vamos precisar saber como somar e subtrair vetores e como calcular o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma dos vetores u + v. Para somar vetores, a gente simplesmente soma componente por componente:
u + v = (2 + 1, -3 + (-1), -1 + 4) = (3, -4, 3)

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença dos vetores u - v. Assim como na soma, a gente subtrai componente por componente:
u - v = (2 - 1, -3 - (-1), -1 - 4) = (1, -2, -5)

Passo 4

Com os vetores (u + v) = (3, -4, 3) e (u - v) = (1, -2, -5), vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(u + v) cdot (u - v) = (3)(1) + (-4)(-2) + (3)(-5)

Passo 5

Vamos resolver a expressão passo a passo:
3 times 1 = 3
-4 times -2 = 8
3 times -5 = -15
Agora, somando esses resultados:
3 + 8 + (-15) = 11 - 15 = -4

Resposta

O valor de (u + v) cdot (u - v) é -4.

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