Mostre que a equação
define uma superfície de revolução e determine suas propriedades.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação
representa uma superfície de revolução. Isso está relacionado ao estudo das superfícies no espaço tridimensional, mais especificamente às superfícies que têm simetria de rotação em torno de um eixo. Para resolver, vamos analisar a equação e identificar qual é a superfície, além de determinar suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da superfície. Observamos que há termos quadráticos em
,
e
, então vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, vamos completar o quadrado nos termos que envolvem
para simplificar a expressão. Isso nos ajudará a reconhecer a forma da superfície.
Passo 3
Para completar o quadrado nos termos de
, vamos focar em
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo de volta:
Passo 4
Substituindo essa expressão na equação original:
Agora, isolamos os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 5
Com essa forma, reconhecemos que a equação representa um hiperboloide de uma folha. A forma geral de um hiperboloide de uma folha é:
Comparando com nossa equação:
Vemos que
,
e
. Isso confirma que temos um hiperboloide de uma folha.
Passo 6
Agora, para mostrar que é uma superfície de revolução, observamos que os coeficientes de
e
são iguais, ou seja,
. Isso indica que a superfície é simétrica em torno do eixo
, pois a rotação em torno desse eixo não altera a equação.
Passo 7
As propriedades do hiperboloide de uma folha incluem:
- Eixos de Simetria: O eixo
é o eixo de simetria. - Centro: O centro da superfície está em
. - Abertura: A superfície se abre para ambos os lados ao longo do eixo
. - Seções:
- Se
for constante, obtemos círculos (superfícies de revolução). - Se
ou for constante, obtemos hipérboles.
- Se
Resposta
A equação
define um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície de revolução simétrica em torno do eixo
. Suas principais propriedades são ter um centro em
, abrir-se indefinidamente ao longo do eixo
, e apresentar simetria circular nas seções paralelas ao plano
.