Mostre que a equação
, onde
é uma constante, define um cone e determine suas propriedades geométricas.
Passo 1
Então, a gente tem a equação
, onde
é uma constante. O objetivo aqui é mostrar que essa equação representa um cone e descobrir algumas propriedades geométricas desse cone. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre geometria analítica, especialmente sobre superfunções como cones.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do tipo de superfície que ela representa. Temos:
Isso parece com a forma geral de uma cônica, mas precisamos ver se é um cone.
Passo 3
Sabemos que a equação geral de um cone centrado na origem é:
Comparando com a nossa equação reorganizada, vemos que temos uma constante
a mais. Isso significa que a nossa superfície é uma variação desse cone padrão.
Passo 4
Para mostrar que a equação
define um cone, vamos analisar o valor de
:
- Se
: A equação se torna , que é o cone padrão. - Se
: A equação ainda mantém a simetria do cone, mas desloca ele no espaço.
Isso confirma que, independente do valor de
, a equação representa um cone.
Passo 5
Agora, vamos determinar algumas propriedades geométricas desse cone:
- Eixo do Cone: O eixo é a reta
, já que a equação é simétrica em relação a e . - Abertura do Cone: A abertura depende do valor de
. Quanto maior o valor de , mais “aberto” é o cone. - Vértice do Cone: O ponto onde o cone se concentra. Neste caso, se
, o vértice está na origem. Se , o vértice é deslocado, mas a equação original sugere que permanece na origem com afetando a abertura.
Resposta
A equação
define um cone cuja abertura é influenciada pelo valor de
. O eixo do cone é a reta
, e o vértice está localizado na origem. Dependendo do valor de
, o cone pode estar mais aberto ou mais fechado, mantendo sempre a simetria em torno do eixo
.