A equação geral A x^2+B y^2+C z^2+D x y+E x z+F y z+G x+H y+I z+J= 0 define uma superfície quadrática. Para quais valores de A, B, C, D, E, F, a superfície é uma elipsoide?**

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação quadrática geral:
A x^2 + B y^2 + C z^2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J = 0
E queremos descobrir para quais valores de essa equação representa uma elipsoide. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e as condições que definem uma elipsoide.

Passo 2

Primeiro, uma elipsoide é um tipo de superfície quadrática que é uma versão alongada da esfera. Para que a equação geral represente uma elipsoide, precisamos que a matriz associada aos termos quadráticos seja definida positiva. Isso significa que a matriz formada pelos coeficientes dos termos deve ter todas as suas autovalores positivas.

Passo 3

Vamos organizar esses coeficientes em uma matriz simétrica chamada de matriz quadrática:
A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C
Para que essa matriz seja definida positiva, precisamos que todos os determinantes principais sejam positivos.

Passo 4

Os determinantes principais são:
  1. O primeiro determinante principal é simplesmente A & D2 D2 & B = AB - (D2)^2 > 0 . Então, A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C > 0 .
  2. O segundo determinante principal é:
  1. O terceiro determinante principal é o determinante total da matriz:

Passo 5

Resumindo, para que a equação geral represente uma elipsoide, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
  1. A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C > 0
  2. O determinante da matriz quadrática completa é maior que zero:
Essas condições garantem que a matriz seja definida positiva, o que caracteriza uma elipsoide.

Resposta

Para que a equação quadrática geral defina uma elipsoide, os coeficientes A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C > 0 devem satisfazer:
  1. O determinante da matriz quadrática completa deve ser maior que zero:
Essas condições garantem que a superfície definida pela equação seja uma elipsoide.

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