A equação geral 0 define uma superfície quadrática. Para quais valores de , a superfície é uma elipsoide?**
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação quadrática geral:
E queremos descobrir para quais valores de essa equação representa uma elipsoide. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quadráticas e as condições que definem uma elipsoide.
Passo 2
Primeiro, uma elipsoide é um tipo de superfície quadrática que é uma versão alongada da esfera. Para que a equação geral represente uma elipsoide, precisamos que a matriz associada aos termos quadráticos seja definida positiva. Isso significa que a matriz formada pelos coeficientes dos termos deve ter todas as suas autovalores positivas.
Passo 3
Vamos organizar esses coeficientes em uma matriz simétrica chamada de matriz quadrática:
Para que essa matriz seja definida positiva, precisamos que todos os determinantes principais sejam positivos.
Passo 4
Os determinantes principais são:
O primeiro determinante principal é simplesmente A & D2 D2 & B = AB - (D2)^2 > 0 . Então, A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C > 0 .
O segundo determinante principal é:
O terceiro determinante principal é o determinante total da matriz:
Passo 5
Resumindo, para que a equação geral represente uma elipsoide, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C > 0
O determinante da matriz quadrática completa é maior que zero:
Essas condições garantem que a matriz seja definida positiva, o que caracteriza uma elipsoide.
Resposta
Para que a equação quadrática geral defina uma elipsoide, os coeficientes A & D2 & E2 D2 & B & F2 E2 & F2 & C > 0 devem satisfazer:
O determinante da matriz quadrática completa deve ser maior que zero:
Essas condições garantem que a superfície definida pela equação seja uma elipsoide.