Determine a equação da superfície quadrática que passa pelos pontos e , e verifique se ela é uma cônica degenerada.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma superfície quadrática que passa por três pontos específicos: , e . Além disso, temos que verificar se essa superfície é uma cônica degenerada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas, e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes da equação da superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma superfície quadrática no espaço tridimensional pode ser representada pela equação geral:
Como temos apenas três pontos, vamos simplificar a equação assumindo que algumas variáveis são zero para facilitar. Para simplificação, podemos considerar que a equação não tem termos mistos (como , , ), então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir cada um dos três pontos na equação para criar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os coeficientes , , , , , e .
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :
Passo 4
Agora temos um sistema de três equações:
Precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , , , , , e . Contudo, temos mais incógnitas do que equações, o que significa que há infinitas soluções. Para simplificar, podemos atribuir valores a alguns coeficientes e resolver para os restantes. Vamos supor que , , e para facilitar os cálculos.
Substituindo na primeira equação:
=>
Na segunda equação:
=>
Na terceira equação:
=>
Passo 5
Agora, temos:
Vamos resolver a primeira equação para :
Substituímos na segunda equação:
=> =>
E na terceira equação:
=>
Agora, substituímos na equação obtida anteriormente:
=> =>
Podemos resolver essa equação para : =>
Para simplificar, vamos atribuir :
Então,
E
E
Passo 6
Agora temos todos os coeficientes:
, , , , , ,
Então, a equação da superfície quadrática fica:
Podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Passo 7
Agora, vamos verificar se essa superfície é uma cônica degenerada. Uma cônica é considerada degenerada se não forma uma curva típica (como elipse, parábola ou hipérbole) e sim algo como um ponto, uma reta ou duas retas.
Para isso, analisamos o discriminante da superfície quadrática. No caso geral, a superfície quadrática pode ser analisada pela matriz associada aos coeficientes dos termos quadráticos.
No nosso caso, a matriz é diagonal:
O determinante dessa matriz é 4 times 4 times 4 = 64, que é diferente de zero. Isso indica que a superfície não é degenerada.