Determine a equação da superfície quadrática que passa pelos pontos (1,1,0),(2,-1,3) e (0,2,1), e verifique se ela é uma cônica degenerada.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma superfície quadrática que passa por três pontos específicos: (1,1,0), (2,-1,3) e (0,2,1). Além disso, temos que verificar se essa superfície é uma cônica degenerada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas, e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes da equação da superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma superfície quadrática no espaço tridimensional pode ser representada pela equação geral:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Como temos apenas três pontos, vamos simplificar a equação assumindo que algumas variáveis são zero para facilitar. Para simplificação, podemos considerar que a equação não tem termos mistos (como xy, xz, yz), então a equação fica:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Gx + Hy + Iz + J = 0

Passo 3

Agora, vamos substituir cada um dos três pontos na equação para criar um sistema de equações que nos ajudará a encontrar os coeficientes A, B, C, G, H, I e J.
Para o ponto (1,1,0):
A(1)^2 + B(1)^2 + C(0)^2 + G(1) + H(1) + I(0) + J = 0 A + B + G + H + J = 0
Para o ponto (2,-1,3):
A(2)^2 + B(-1)^2 + C(3)^2 + G(2) + H(-1) + I(3) + J = 0 4A + B + 9C + 2G - H + 3I + J = 0
Para o ponto (0,2,1):
A(0)^2 + B(2)^2 + C(1)^2 + G(0) + H(2) + I(1) + J = 0 4B + C + 2H + I + J = 0

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações:
  1. A + B + G + H + J = 0
  2. 4A + B + 9C + 2G - H + 3I + J = 0
  3. 4B + C + 2H + I + J = 0
Precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de A, B, C, G, H, I e J. Contudo, temos mais incógnitas do que equações, o que significa que há infinitas soluções. Para simplificar, podemos atribuir valores a alguns coeficientes e resolver para os restantes. Vamos supor que A = 1, B = 1, e C = 1 para facilitar os cálculos.
Substituindo A = B = C = 1 na primeira equação:
1 + 1 + G + H + J = 0 => G + H + J = -2
Na segunda equação:
4(1) + 1 + 9(1) + 2G - H + 3I + J = 0 => 14 + 2G - H + 3I + J = 0
Na terceira equação:
4(1) + 1 + 2H + I + J = 0 => 5 + 2H + I + J = 0

Passo 5

Agora, temos:
  1. G + H + J = -2
  2. 14 + 2G - H + 3I + J = 0
  3. 5 + 2H + I + J = 0
Vamos resolver a primeira equação para G: G = -2 - H - J
Substituímos G na segunda equação:
14 + 2(-2 - H - J) - H + 3I + J = 0 => 14 -4 -2H -2J - H + 3I + J = 0 => 10 -3H -J + 3I = 0
E na terceira equação:
5 + 2H + I + J = 0 => I = -5 -2H - J
Agora, substituímos I na equação obtida anteriormente:
10 -3H -J + 3(-5 -2H - J) = 0 => 10 -3H -J -15 -6H -3J = 0 => -5 -9H -4J = 0
Podemos resolver essa equação para J: -4J = 5 + 9H => J = -5 + 9H4
Para simplificar, vamos atribuir H = 0:
Então, J = -54
E I = -5 -2(0) - (-54) = -5 + 54 = -154
E G = -2 - 0 - (-54) = -2 + 54 = -34

Passo 6

Agora temos todos os coeficientes:
A = 1, B = 1, C = 1, G = -34, H = 0, I = -154, J = -54
Então, a equação da superfície quadrática fica:
x^2 + y^2 + z^2 - 34x - 154z - 54 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 3x - 15z - 5 = 0

Passo 7

Agora, vamos verificar se essa superfície é uma cônica degenerada. Uma cônica é considerada degenerada se não forma uma curva típica (como elipse, parábola ou hipérbole) e sim algo como um ponto, uma reta ou duas retas.
Para isso, analisamos o discriminante da superfície quadrática. No caso geral, a superfície quadrática pode ser analisada pela matriz associada aos coeficientes dos termos quadráticos.
No nosso caso, a matriz é diagonal:
4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4
O determinante dessa matriz é 4 times 4 times 4 = 64, que é diferente de zero. Isso indica que a superfície não é degenerada.

Resposta

A equação da superfície quadrática é:
4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 3x - 15z - 5 = 0
E essa superfície não é uma cônica degenerada.

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