Determine se os vetores do seguinte conjunto são LI ou LD
Em seguida, determine a forma parametrica dos vetores do espaço gerado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de três vetores em um espaço de quatro dimensões:
Precisamos determinar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Além disso, vamos encontrar a forma paramétrica do espaço gerado por esses vetores.

Passo 2

Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A ideia é determinar o posto dessa matriz. Se o posto for igual ao número de vetores (neste caso, 3), os vetores são linearmente independentes. Caso contrário, são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos realizar eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz .
Primeiro, mantemos a primeira coluna como está e tentamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô:
Multiplicamos a primeira linha por para facilitar os cálculos:
Agora, somamos a primeira linha à segunda, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira e subtraímos 5 vezes a primeira linha da quarta:

Passo 4

Agora, focamos na segunda coluna. O pivô é -2.5. Vamos torná-lo 1 dividindo a segunda linha por -2.5:
Em seguida, usamos esse pivô para zerar os elementos acima e abaixo dele na segunda coluna:
  • Subtraímos 0.5 vezes a segunda linha da primeira.
  • Subtraímos 2.5 vezes a segunda linha da terceira.
  • Adicionamos 0.5 vezes a segunda linha à quarta.
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, observamos a terceira coluna. O pivô é -2. Vamos torná-lo 1 dividindo a terceira linha por -2:
Por fim, usamos este pivô para zerar os elementos acima na terceira coluna:
  • Subtraímos 0.8 vezes a terceira linha da primeira.
  • Adicionamos 0.6 vezes a terceira linha à segunda.
  • Adicionamos 1.2 vezes a terceira linha à quarta.
Isso resulta na forma escalonada reduzida:

Passo 6

O posto da matriz é 3, que é igual ao número de vetores. Portanto, os vetores são linearmente independentes (LI).

Passo 7

Agora, vamos determinar a forma paramétrica dos vetores no espaço gerado por esses vetores. Como os vetores são LI, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores fornecidos.
Seja pertencente ao espaço gerado, então:
Onde são números reais.

Resposta

Os vetores do conjunto são linearmente independentes (LI). A forma paramétrica dos vetores do espaço gerado é:

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7
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