Suponha que os vetores e são L.I. no espaço. Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
(a) e são L.I. no espaço.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente tem dois vetores, e , que são linearmente independentes (L.I.) no espaço tridimensional. O que queremos descobrir é se os vetores , e também são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem lineares independentes e como combinar vetores usando soma, subtração e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se nenhum vetor da coleção puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para é . Se existir outra solução, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, vamos analisar os vetores dados:
Queremos verificar se esses três vetores são L.I. Para isso, precisamos ver se a única solução para a equação:
é .
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Sabemos que e são L.I., então os únicos coeficientes que fazem essa combinação ser zero são e . Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos .
Passo 6
Agora, voltando à equação original:
Isso simplifica para:
Como e são L.I., o produto vetorial não é o vetor nulo. Portanto, a única solução para essa equação é .
Passo 7
Concluímos que a única solução para a equação linear dada é . Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Os vetores , e são linearmente independentes no espaço.