Suponha que os vetores u e v são L.I. no espaço. Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
(a) u+v, u-v e u times v são L.I. no espaço.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente tem dois vetores, e , que são linearmente independentes (L.I.) no espaço tridimensional. O que queremos descobrir é se os vetores , e também são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem lineares independentes e como combinar vetores usando soma, subtração e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se nenhum vetor da coleção puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para é . Se existir outra solução, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores dados:
  1. a(u + v) + b(u - v) + c(u times v) = 0
Queremos verificar se esses três vetores são L.I. Para isso, precisamos ver se a única solução para a equação:
é .

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
au + av + bu - bv + c(u times v) = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(a + b)u + (a - b)v + c(u times v) = 0

Passo 5

Sabemos que a + b = 0 a - b = 0 e 2a = 0 Rightarrow a = 0 são L.I., então os únicos coeficientes que fazem essa combinação ser zero são 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 e . Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos .

Passo 6

Agora, voltando à equação original:
0u + 0v + c(u times v) = 0
Isso simplifica para:
c(u times v) = 0
Como e são L.I., o produto vetorial não é o vetor nulo. Portanto, a única solução para essa equação é .

Passo 7

Concluímos que a única solução para a equação linear dada é . Isso significa que os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Os vetores , e são linearmente independentes no espaço.

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