Dados os vetores u=(3,-1) e v=(-1,2) determine o vetor w tal que 4(u-v)+w=u-2 w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores e operações com eles. Temos dois vetores, u = (3, -1) e v = (-1, 2), e precisamos encontrar outro vetor w que satisfaz a equação 4(u - v) + w = u - 2w. Para resolver isso, vamos usar operações básicas com vetores, como adição, subtração e multiplicação por escalar, além de resolver uma equação vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores u e v. A subtração de vetores é feita componente a componente:
u - v = (3 - (-1), -1 - 2) = (4, -3)

Passo 3

Agora, multiplicamos esse resultado por 4:
4(u - v) = 4 cdot (4, -3) = (16, -12)

Passo 4

Substituímos esse valor na equação original:
(16, -12) + w = u - 2w
E sabemos que u = (3, -1), então:
(16, -12) + w = (3, -1) - 2w

Passo 5

Vamos reunir todas as w de um lado da equação. Primeiro, adicionamos 2w nos dois lados para eliminar o -2w do lado direito:
(16, -12) + w + 2w = (3, -1)
Isso simplifica para:
(16, -12) + 3w = (3, -1)

Passo 6

Agora, isolamos 3w subtraindo (16, -12) de ambos os lados:
3w = (3, -1) - (16, -12) = (-13, 11)

Passo 7

Por fim, resolvemos para w dividindo ambos os lados por 3:
w = ( -133, 113 )

Resposta

O vetor w é:
w = ( -133, 113 )

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