Prove que o triângulo A(1,2,0), B(4,0,-1) e C(2,-1,2) é equilátero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um triângulo formado pelos pontos , e . O objetivo é provar que esse triângulo é equilátero, ou seja, que todos os lados têm o mesmo comprimento. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é dada por:

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos dAB = raiz(4 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-1 - 0)^2 = raiz3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 e .
Ponto e ponto .
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos dBC = raiz(2 - 4)^2 + (-1 - 0)^2 + (2 - (-1))^2 = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 e .
Ponto e ponto .
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos dCA = raiz(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (0 - 2)^2 = raiz(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 e .
Ponto e ponto .
Aplicando a fórmula:

Resposta

Como as distâncias , e são todas iguais a , o triângulo é equilátero.

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