Quais dos seguintes são combinações lineares de A=[cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3] e C=[ll0 & 2 1 & 4] ?
-8[cc6 & -8 -1 & -8]

Passo 1

Beleza! A gente tem três matrizes, A, B e C, e queremos saber se uma quarta matriz pode ser feita juntando A, B e C com alguns números. Isso envolve o conceito de combinação linear na álgebra linear. Vamos precisar montar um sistema de equações para descobrir quais números multiplicam A, B e C para chegar na matriz desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes:
A = 4 & 0 -2 & -2 , B = 1 & -1 2 & 3 , C = 0 & 2 1 & 4
E a matriz que queremos obter é:
6 & -8 -1 & -8

Passo 3

A ideia é encontrar números xA + yB + zC = 6 & -8 -1 & -8 , e tais que:
Vamos multiplicar cada matriz pelos seus coeficientes e igualar as entradas correspondentes.

Passo 4

Multiplicando as matrizes pelos coeficientes:
x 4 & 0 -2 & -2 + y 1 & -1 2 & 3 + z 0 & 2 1 & 4 = 6 & -8 -1 & -8
Vamos somar as matrizes:
4x + y + 0z & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z = 6 & -8 -1 & -8

Passo 5

Agora, igualamos as entradas correspondentes:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da equação 2:

Passo 7

Substituímos na equação 1:

Passo 8

Agora, substituímos e na equação 3:


Substituindo :


Passo 9

Com , encontramos :
E

Resposta

Sim, a matriz 6 & -8 -1 & -8 é uma combinação linear de , e com , e .

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