Dados os vetores u=(3,-1,0) e v=(-1,2,-1) determine w tal que:
4(u-v)+13 w=2 u-w

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve vetores e precisamos encontrar um vetor que satisfaz uma determinada equação. O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra vetorial, onde lidamos com operações entre vetores, como subtração e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
4(u - v) + 13 w = 2u - w
Nosso objetivo é isolar nessa equação. Para isso, vamos seguir alguns passos de álgebra vetorial.

Passo 3

Vamos distribuir o 4 dentro do parêntese:
4u - 4v + 13 w = 2u - w

Passo 4

Agora, vamos trazer todas as termos que contêm 13 w + w = 2u - (4u - 4v) para um lado da equação e os demais termos para o outro lado. Para isso, adicionamos aos dois lados e subtraímos dos dois lados:

Passo 5

Simplificamos o lado direito da equação:
2u - 4u + 4v = -2u + 4v
Então, a equação fica:
13 w + w = -2u + 4v

Passo 6

Somamos os termos de 13 w + 33 w = 43 w no lado esquerdo. Lembre-se que 43 w = -2u + 4v é igual a , então:
Agora temos:

Passo 7

Para isolar w = 34 (-2u + 4v) , multiplicamos ambos os lados da equação por :

Passo 8

Distribuímos w = 34 times (-2u) + 34 times 4v = -64u + 3v dentro dos parênteses:
w = -32u + 3v
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos os valores de u = (3, -1, 0) e v = (-1, 2, -1) e w = -32(3, -1, 0) + 3(-1, 2, -1) dados no enunciado:
Então:

Passo 10

Realizamos as multiplicações:
-32(3, -1, 0) = (-92, 32, 0)
3(-1, 2, -1) = (-3, 6, -3)

Passo 11

Agora, somamos os dois vetores resultantes:
w = (-92, 32, 0) + (-3, 6, -3) = (-92 - 3, 32 + 6, 0 - 3)
Simplificando cada componente:
w = (-152, 152, -3)

Resposta

O vetor w = (-152, 152, -3) que satisfaz a equação dada é:

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