Dados os vetores U=(-1,2,0) e V=(2,0,-4), encontre o vetor W que satisfaz a todas as condições abaixo:
a) W é simultaneamente ortogonal a U e V.
b) |W|=raiz6.
c) O ângulo entre W e i=(1,0,0) é menor do que pi2 radianos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre vetores no espaço tridimensional. Precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e , que tenha magnitude e que forme um ângulo menor que radianos com o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, para que seja ortogonal a e , ele precisa ser perpendicular a ambos. A maneira mais fácil de encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados é calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial U times V = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 ) . Lembrando que, se U times V = ( 2 times (-4) - 0 times 0, 0 times 2 - (-1) times (-4), (-1) times 0 - 2 times 2 ) = ( -8, -4, -4 ) e , então:
Substituindo os valores de e :

Passo 4

Agora temos que é um múltiplo do vetor . Porém, queremos que e que o ângulo com seja menor que . Para garantir que o ângulo seja menor que , o primeiro componente de (o da direção ) deve ser positivo. Portanto, vamos considerar o vetor .

Passo 5

Vamos normalizar o vetor | (8, 4, 4) | = raiz8^2 + 4^2 + 4^2 = raiz64 + 16 + 16 = raiz96 = 4raiz6 para ter a magnitude W = 14 times (8, 4, 4) = (2, 1, 1) . Primeiro, calculamos a norma do vetor:
Para que a norma de seja , multiplicamos o vetor por :

Resposta

O vetor que satisfaz todas as condições é .

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