Dados os vetores e , encontre o vetor que satisfaz a todas as condições abaixo:
a) é simultaneamente ortogonal a e .
b) .
c) O ângulo entre e é menor do que radianos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre vetores no espaço tridimensional. Precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores e , que tenha magnitude e que forme um ângulo menor que radianos com o vetor . Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, para que seja ortogonal a e , ele precisa ser perpendicular a ambos. A maneira mais fácil de encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados é calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que, se e , então:
Substituindo os valores de e :
Passo 4
Agora temos que é um múltiplo do vetor . Porém, queremos que e que o ângulo com seja menor que . Para garantir que o ângulo seja menor que , o primeiro componente de (o da direção ) deve ser positivo. Portanto, vamos considerar o vetor .
Passo 5
Vamos normalizar o vetor para ter a magnitude . Primeiro, calculamos a norma do vetor:
Para que a norma de seja , multiplicamos o vetor por :