Dados os vetores
e
, encontre o vetor
que satisfaz a todas as condições abaixo:
a)
é simultaneamente ortogonal a
e
.
b)
.
c) O ângulo entre
e
é menor do que
radianos.
a)
b)
c) O ângulo entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre vetores no espaço tridimensional. Precisamos encontrar um vetor
que seja ortogonal aos vetores
e
, que tenha magnitude
e que forme um ângulo menor que
radianos com o vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, para que
seja ortogonal a
e
, ele precisa ser perpendicular a ambos. A maneira mais fácil de encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados é calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Lembrando que, se
e
, então:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 4
Agora temos que
é um múltiplo do vetor
. Porém, queremos que
e que o ângulo com
seja menor que
. Para garantir que o ângulo seja menor que
, o primeiro componente de
(o da direção
) deve ser positivo. Portanto, vamos considerar o vetor
.
Passo 5
Vamos normalizar o vetor
para ter a magnitude
. Primeiro, calculamos a norma do vetor:
Para que a norma de
seja
, multiplicamos o vetor por
:
Resposta
O vetor
que satisfaz todas as condições é
.