Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 times 4, onde k1, k2, k3, k4e k5 săo todos năo-nulos.
© [llllk & 0 & 0 & 0 1 & k & 0 & 0 0 & 1 & k & 0 0 & 0 & 1 & k]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa de uma matriz . O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz triangular, que no caso é uma matriz abaixoltriangular com elementos não nulos na diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz dada:
A = k & 0 & 0 & 0 1 & k & 0 & 0 0 & 1 & k & 0 0 & 0 & 1 & k
Essa matriz é abaixoltriangular, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Além disso, todos os elementos da diagonal principal são iguais a , que não são nulos.

Passo 3

Para encontrar a inversa de uma matriz triangular, uma estratégia eficaz é usar método de substituição. Sabemos que a inversa de uma matriz triangular também será triangular do mesmo tipo (abaixoltriangular neste caso).
Vamos chamar a inversa de A^-1 = a & 0 & 0 & 0 b & c & 0 & 0 d & e & f & 0 g & h & i & j e representá-la da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfaçam a condição , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Multiplicando A cdot A^-1 = k cdot a & 0 & 0 & 0 1 cdot a + k cdot b & k cdot c & 0 & 0 0 cdot a + 1 cdot b + k cdot d & 1 cdot c + k cdot e & k cdot f & 0 0 cdot a + 0 cdot b + 1 cdot d + k cdot g & 0 cdot c + 1 cdot e + k cdot h & 1 cdot f + k cdot i & k cdot j = I por , devemos obter a matriz identidade:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações uma por uma:
  1. Para k cdot a = 1 Rightarrow a = 1k :
    1 cdot a + k cdot b = 0 Rightarrow 1k + k cdot b = 0 Rightarrow b = -1k^2
  2. Para 1 cdot b + k cdot d = 0 Rightarrow -1k^2 + k cdot d = 0 Rightarrow d = 1k^3 :
    1 cdot d + k cdot g = 0 Rightarrow 1k^3 + k cdot g = 0 Rightarrow g = -1k^4
  3. Para k cdot c = 1 Rightarrow c = 1k :
    1 cdot c + k cdot e = 0 Rightarrow 1k + k cdot e = 0 Rightarrow e = -1k^2
  4. Para 1 cdot e + k cdot h = 0 Rightarrow -1k^2 + k cdot h = 0 Rightarrow h = 1k^3 :
    k cdot f = 1 Rightarrow f = 1k
  5. Para 1 cdot f + k cdot i = 0 Rightarrow 1k + k cdot i = 0 Rightarrow i = -1k^2 :
    k cdot j = 1 Rightarrow j = 1k
  6. Para :
  7. Para :
  8. Para :
  9. Para :
  10. Para :

Passo 6

Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz inversa A^-1 = 1k & 0 & 0 & 0 -1k^2 & 1k & 0 & 0 1k^3 & -1k^2 & 1k & 0 -1k^4 & 1k^3 & -1k^2 & 1k :

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = 1k & 0 & 0 & 0 -1k^2 & 1k & 0 & 0 1k^3 & -1k^2 & 1k & 0 -1k^4 & 1k^3 & -1k^2 & 1k

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