Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes , onde săo todos năo-nulos.
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Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa de uma matriz . O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz triangular, que no caso é uma matriz abaixoltriangular com elementos não nulos na diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz dada:
Essa matriz é abaixoltriangular, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Além disso, todos os elementos da diagonal principal são iguais a , que não são nulos.

Passo 3

Para encontrar a inversa de uma matriz triangular, uma estratégia eficaz é usar método de substituição. Sabemos que a inversa de uma matriz triangular também será triangular do mesmo tipo (abaixoltriangular neste caso).
Vamos chamar a inversa de e representá-la da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfaçam a condição , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Multiplicando por , devemos obter a matriz identidade:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações uma por uma:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :
  8. Para :
  9. Para :
  10. Para :

Passo 6

Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz inversa :

Resposta

A inversa da matriz dada é:

Exercícios relacionados

Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regram de Cramer:
(a)
Dados os vetores e , encontre o vetor que satisfaz a todas as condições abaixo:
a) é simultaneamente ortogonal a e .
b) .
c) O ângulo entre e é menor do que radianos.
Qual é o operador linear sobre o que possui e como autovalores associados, respectivamente, aos autovetores e ?
Sejam e dois vetores não nulos no espaço tais que . Se e , calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores e .