Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa de uma matriz . O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz triangular, que no caso é uma matriz abaixoltriangular com elementos não nulos na diagonal principal.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz dada:
Essa matriz é abaixoltriangular, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Além disso, todos os elementos da diagonal principal são iguais a , que não são nulos.
Passo 3
Para encontrar a inversa de uma matriz triangular, uma estratégia eficaz é usar método de substituição. Sabemos que a inversa de uma matriz triangular também será triangular do mesmo tipo (abaixoltriangular neste caso).
Vamos chamar a inversa de e representá-la da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfaçam a condição , onde é a matriz identidade.
Passo 4
Multiplicando por , devemos obter a matriz identidade:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações uma por uma:
Para :
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Passo 6
Agora que encontramos todos os valores, podemos montar a matriz inversa :