Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regram de Cramer:
(a) l3 y+2 x-z=1 3 x+2 z=8-5 y 3 z-x=1-2 y

Passo 1

Então, temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . O objetivo aqui é verificar se esse sistema tem solução e, se tiver, resolver usando a Regra de Cramer. Para isso, vamos precisar entender como montar determinantes e aplicar a Regra de Cramer, que permite encontrar as variáveis de forma direta quando o sistema é possível e determinado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar o uso da Regra de Cramer:
3y + 2x - z = 1 3x + 2z = 8 - 5y 3z - x = 1 - 2y
Vamos reescrever todas as equações de forma padrão :

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes das variáveis para montar a matriz dos coeficientes A = 2 & 3 & -1 3 & 5 & 2 -1 & 2 & 3 :
D = 1 8 1
E o vetor dos termos constantes :

Passo 4

Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz |A| = 2 cdot (5 cdot 3 - 2 cdot 2) - 3 cdot (3 cdot 3 - (-1) cdot 2) + (-1) cdot (3 cdot 2 - 5 cdot (-1)) , denominado |A| = 2 cdot (15 - 4) - 3 cdot (9 + 2) -1 cdot (6 + 5) . Se |A| = 2 cdot 11 - 3 cdot 11 -1 cdot 11 = 22 - 33 -11 = -22 , o sistema tem uma única solução.
Vamos calcular :
Como , o sistema tem solução única.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar Ax = 1 & 3 & -1 8 & 5 & 2 1 & 2 & 3 , |Ax| = 1 cdot (5 cdot 3 - 2 cdot 2) - 3 cdot (8 cdot 3 - 1 cdot 2) + (-1) cdot (8 cdot 2 - 5 cdot 1) e |Ax| = 1 cdot (15 - 4) - 3 cdot (24 - 2) -1 cdot (16 -5) . Para isso, substituímos a coluna correspondente à variável pelo vetor |Ax| = 11 - 3 cdot 22 -11 = 11 - 66 -11 = -66 e calculamos os determinantes x = |Ax||A| = -66-22 = 3 , Ay = 2 & 1 & -1 3 & 8 & 2 -1 & 1 & 3 e |Ay| = 2 cdot (8 cdot 3 - 2 cdot 1) -1 cdot (3 cdot 3 - (-1) cdot 2) + (-1) cdot (3 cdot 1 -8 cdot (-1)) .
Para |Ay| = 2 cdot (24 -2) -1 cdot (9 +2) -1 cdot (3 +8) :
|Ay| = 2 cdot 22 -11 -11 = 44 -11 -11 = 22
y = |Ay||A| = 22-22 = -1
Az = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 8 -1 & 2 & 1
|Az| = 2 cdot (5 cdot 1 -8 cdot 2) -3 cdot (3 cdot 1 - (-1) cdot 8) +1 cdot (3 cdot 2 -5 cdot (-1))
|Az| = 2 cdot (5 -16) -3 cdot (3 +8) +1 cdot (6 +5)
Para |Az| = 2 cdot (-11) -3 cdot 11 +11 = -22 -33 +11 = -44 :
z = |Az||A| = -44-22 = 2
Para :

Resposta

O sistema é possível e determinado, e a solução é:
x = 3, y = -1, z = 2

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