Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades:
|u-v|^2=|u|^2-2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, e precisamos provar que:
|u-v|^2=|u|^2-2 u cdot v+|v|^2
Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com normas e produto interno de vetores.

Passo 2

Vamos começar expandindo o lado esquerdo da equação, que é o quadrado da norma de u - v. Sabemos que a norma de um vetor a é dada por |a| = raiza cdot a. Então, temos:
|u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a distributiva do produto interno. Isso significa que vamos multiplicar cada termo do primeiro vetor pelo segundo vetor:
(u - v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v - v cdot u + v cdot v

Passo 4

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, u cdot v = v cdot u. Então, podemos simplificar:
u cdot u - 2u cdot v + v cdot v
E lembrando que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2, temos:
|u|^2 - 2u cdot v + |v|^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u-v|^2=|u|^2-2 u cdot v+|v|^2

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