Dados os vetores v=(1,3,-5) e u=(4,-2,8), decomponha v como v= v1+v2, sendo v1 | u e v2 perp u.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos os vetores v = (1, 3, -5) e u = (4, -2, 8). Precisamos decompor v em duas partes: v1, que é paralela a u, e v2, que é perpendicular a u. Para isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e decomposição vetorial.

Passo 2

Para encontrar v1, que é a projeção de v na direção de u, usamos a fórmula da projeção:
v1 = ( v cdot u|u|^2 ) u
Isso nos dá a componente de v na direção de u.

Passo 3

Primeiro, calculamos o produto escalar v cdot u:
v cdot u = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(8) = 4 - 6 - 40 = -42

Passo 4

Agora, calculamos o quadrado do módulo de u:
|u|^2 = 4^2 + (-2)^2 + 8^2 = 16 + 4 + 64 = 84

Passo 5

Com esses valores, calculamos v1:
v1 = ( -4284 ) u = (-0.5) cdot (4, -2, 8) = (-2, 1, -4)

Passo 6

Agora, para encontrar v2, usamos a relação:
v2 = v - v1
Subtraindo v1 de v:
v2 = (1, 3, -5) - (-2, 1, -4) = (1 + 2, 3 - 1, -5 + 4) = (3, 2, -1)

Resposta

A decomposição solicitada é:
v = v1 + v2 = (-2, 1, -4) + (3, 2, -1)

Exercícios relacionados