Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades:
|u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u e v, e o exercício pede pra mostrar que:
|u+v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
Isso envolve álgebra vetorial, especificamente operações com vetores como soma e produto interno (o tal do “ponto” entre vetores). Vamos precisar lembrar que o módulo de um vetor a, representado por |a|, é a sua “tamanho” ou “comprimento”, e que o produto interno a cdot b é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta em um número.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |u + v|^2. O módulo de um vetor ao quadrado é igual ao produto interno dele consigo mesmo. Então podemos reescrever:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v)
Isso já nos prepara para expandir essa expressão usando propriedades do produto interno.

Passo 3

Agora, vamos expandir o produto interno:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v
Aqui, usamos a propriedade distributiva do produto interno, ou seja, distribuir o “ponto” sobre a soma dos vetores.

Passo 4

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, u cdot v = v cdot u. Então podemos simplificar:
u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2
Isso porque u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2.

Resposta

Então, mostramos que:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2, u cdot v + |v|^2

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