Dados vetores
e
, mostre as seguintes igualdades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, e o exercício pede pra mostrar que:
Isso envolve álgebra vetorial, especificamente operações com vetores como soma e produto interno (o tal do “ponto” entre vetores). Vamos precisar lembrar que o módulo de um vetor
, representado por
, é a sua “tamanho” ou “comprimento”, e que o produto interno
é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta em um número.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O módulo de um vetor ao quadrado é igual ao produto interno dele consigo mesmo. Então podemos reescrever:
Isso já nos prepara para expandir essa expressão usando propriedades do produto interno.
Passo 3
Agora, vamos expandir o produto interno:
Aqui, usamos a propriedade distributiva do produto interno, ou seja, distribuir o “ponto” sobre a soma dos vetores.
Passo 4
Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja,
. Então podemos simplificar:
Isso porque
e
.
Resposta
Então, mostramos que: