Dados vetores
e
, mostre as seguintes igualdades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, para dois vetores
e
, a norma do vetor soma ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado mais duas vezes o produto escalar deles. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente normas e produtos escalares. Vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e o que é o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
, escrita como
, é a medida do seu comprimento e pode ser calculada usando a fórmula
. Então, a norma ao quadrado é simplesmente
.
Passo 3
Aplicando isso ao vetor
, temos:
Aqui, usamos a definição da norma ao quadrado para expandir o lado esquerdo da igualdade.
Passo 4
Agora, vamos expandir o produto escalar:
Usei a propriedade distributiva do produto escalar aqui, que permite multiplicar cada termo de um vetor pelo outro.
Passo 5
Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja,
. Então, podemos simplificar:
Passo 6
Agora, lembrando que
e
, substituímos na expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que: