Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades: |u+v|^2=|u|^2+2 u cdot v+|v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, para dois vetores u e v, a norma do vetor soma ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado mais duas vezes o produto escalar deles. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente normas e produtos escalares. Vamos precisar lembrar como calcular a norma de um vetor e o que é o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor w, escrita como |w|, é a medida do seu comprimento e pode ser calculada usando a fórmula |w| = raizw cdot w. Então, a norma ao quadrado é simplesmente |w|^2 = w cdot w.

Passo 3

Aplicando isso ao vetor u + v, temos:
|u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v)
Aqui, usamos a definição da norma ao quadrado para expandir o lado esquerdo da igualdade.

Passo 4

Agora, vamos expandir o produto escalar:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v
Usei a propriedade distributiva do produto escalar aqui, que permite multiplicar cada termo de um vetor pelo outro.

Passo 5

Sabemos que o produto escalar é comutativo, ou seja, u cdot v = v cdot u. Então, podemos simplificar:
u cdot u + 2 (u cdot v) + v cdot v

Passo 6

Agora, lembrando que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2, substituímos na expressão:
|u|^2 + 2 (u cdot v) + |v|^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2 u cdot v + |v|^2

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