Dados os vetores: u = (5, 1, -1), v = (0, 1, -5) e w = (-15, 3, -3), determine se algum desses vetores é perpendicular ou paralelo a qualquer um dos outros dois.

Passo 1

Então, pessoal, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. Temos três vetores:
A missão é descobrir se algum desses vetores é perpendicular ou paralelo a qualquer um dos outros dois. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de vetores, como produto escalar e comparação de componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem perpendiculares ou paralelos.
  • Perpendiculares: Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é dado por:
  • Paralelos: Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número lambda tal que .

Passo 3

Vamos verificar se u é perpendicular ou paralelo a v.
Produto Escalar:
Como o produto escalar não é zero, u e v não são perpendiculares.
Verificando Paralelismo:
Vamos ver se existe um lambda tal que :
Isso implica:
  • → Contradição, já que .
    Portanto, u e v não são paralelos.

Passo 4

Agora, vamos verificar se u é perpendicular ou paralelo a w.
Produto Escalar:
Como o produto escalar não é zero, u e w não são perpendiculares.
Verificando Paralelismo:
Vamos ver se existe um lambda tal que :
Isso implica:

  • Como os valores de lambda não coincidem, u e w não são paralelos.

Passo 5

Por último, vamos verificar se v é perpendicular ou paralelo a w.
Produto Escalar:
Como o produto escalar não é zero, v e w não são perpendiculares.
Verificando Paralelismo:
Vamos ver se existe um lambda tal que :
Isso implica:

  • Como os valores de lambda não coincidem, v e w não são paralelos.

Resposta

Nenhum dos vetores u, v e w é perpendicular ou paralelo a qualquer um dos outros dois.

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