A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por e , cujos preços po unidade são, respectivamente, e , e a quantidade produzida é dada por , cujo preço por unidade é . Determine o lucro total máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema quer a gente encontrar o lucro total máximo de uma mercadoria, usando a função de produção dada. A matéria que vamos usar aqui é otimização de funções, especialmente envolvendo derivadas para achar máximos e mínimos. Vamos precisar montar a função lucro, que é a diferença entre receita e custo, e depois otimizar essa função para encontrar o valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a receita. A quantidade produzida é , e o preço por unidade é $16. Então, a receita () é:
Mas a função de produção nos dá em termos de e :
Substituindo isso na receita:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo. As quantidades de insumos são e , com preços $4 e $8 por unidade, respectivamente. Então, o custo () é:
Passo 4
A função lucro () é a diferença entre receita e custo:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o lucro máximo, precisamos achar os pontos críticos da função . Isso envolve calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 6
Com e , vamos calcular usando a função de produção:
Agora, calculamos o lucro máximo substituindo , e na função lucro: