A função de produção de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por e , cujos preços po unidade são, respectivamente, e , e a quantidade produzida é dada por , cujo preço por unidade é . Determine o lucro total máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer a gente encontrar o lucro total máximo de uma mercadoria, usando a função de produção dada. A matéria que vamos usar aqui é otimização de funções, especialmente envolvendo derivadas para achar máximos e mínimos. Vamos precisar montar a função lucro, que é a diferença entre receita e custo, e depois otimizar essa função para encontrar o valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a receita. A quantidade produzida é , e o preço por unidade é $16. Então, a receita ( ) é:
Mas a função de produção nos dá em termos de e :
Substituindo isso na receita:

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo. As quantidades de insumos são e , com preços $4 e $8 por unidade, respectivamente. Então, o custo ( ) é:

Passo 4

A função lucro ( ) é a diferença entre receita e custo:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o lucro máximo, precisamos achar os pontos críticos da função . Isso envolve calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Com e , vamos calcular usando a função de produção:
Agora, calculamos o lucro máximo substituindo , e na função lucro:

Resposta

O lucro total máximo é de $16.800.

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Dados os vetores: e , determine se algum desses vetores é perpendicular ou paralelo a qualquer um dos outros dois.
Seja Determine: .
Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz :
Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar um valor mínimo relativo de se com as restrições e .