A função de produção f de certa mercadoria tem valores funcionais
f(x, y) = x + 5/2 * y - 1/8 * x^2 - 1/4 * y^2 - 9/8
As quantidades de dois fatores são dadas por 100 x e 100 y, cujos preços po unidade são, respectivamente, \$ e e, e a quantidade produzida é dada por 8, cujo preço por unidade é 100 z. Determine o lucro total máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer a gente encontrar o lucro total máximo de uma mercadoria, usando a função de produção dada. A matéria que vamos usar aqui é otimização de funções, especialmente envolvendo derivadas para achar máximos e mínimos. Vamos precisar montar a função lucro, que é a diferença entre receita e custo, e depois otimizar essa função para encontrar o valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a receita. A quantidade produzida é , e o preço por unidade é $16. Então, a receita ( ) é:
Mas a função de produção nos dá em termos de e :
e
Substituindo isso na receita:

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo. As quantidades de insumos são e , com preços $4 e $8 por unidade, respectivamente. Então, o custo ( ) é:
C

Passo 4

A função lucro ( L) é a diferença entre receita e custo:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o lucro máximo, precisamos achar os pontos críticos da função L. Isso envolve calcular as derivadas parciais de L em relação a x e y, igualá-las a zero e resolver o sistema.
Primeiro, a derivada parcial de L em relação a x:
Agora, a derivada parcial de L em relação a y:

Passo 6

Com e , vamos calcular z usando a função de produção:
Agora, calculamos o lucro máximo substituindo x, y e z na função lucro:

Resposta

O lucro total máximo é de $16.800.

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