A função de produção
de certa mercadoria tem valores funcionais
As quantidades de dois fatores são dadas por
e
, cujos preços po unidade são, respectivamente,
e
, e a quantidade produzida é dada por
, cujo preço por unidade é
. Determine o lucro total máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema quer a gente encontrar o lucro total máximo de uma mercadoria, usando a função de produção dada. A matéria que vamos usar aqui é otimização de funções, especialmente envolvendo derivadas para achar máximos e mínimos. Vamos precisar montar a função lucro, que é a diferença entre receita e custo, e depois otimizar essa função para encontrar o valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a receita. A quantidade produzida é
, e o preço por unidade é $16. Então, a receita (
) é:
Mas a função de produção nos dá
em termos de
e
:
Substituindo isso na receita:
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo. As quantidades de insumos são
e
, com preços $4 e $8 por unidade, respectivamente. Então, o custo (
) é:
Passo 4
A função lucro (
) é a diferença entre receita e custo:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o lucro máximo, precisamos achar os pontos críticos da função
. Isso envolve calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, igualá-las a zero e resolver o sistema.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Com
e
, vamos calcular
usando a função de produção:
Agora, calculamos o lucro máximo substituindo
,
e
na função lucro:
Resposta
O lucro total máximo é de $16.800.