Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os autovalores e autovetores da matriz :
Isso está relacionado à álgebra linear, mais especificamente aos conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o polinômio característico da matriz e depois resolver para encontrar os autovalores. Depois, com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico. Isso é feito calculando o determinante de , onde é o autovalor que queremos encontrar e é a matriz identidade.
Então, temos:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de:
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos expandir o determinante:
Simplificando cada determinante menor:
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos o polinômio característico:
Podemos fatorar :
Então, as soluções são:
Vamos resolver a segunda equação quadrática:
Usando a fórmula quadrática:
Então:
Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.

Para :

Resolvemos :
Isso leva ao sistema de equações:
Usando e , podemos tomar :
Portanto, o autovetor correspondente a é qualquer múltiplo de .

Para :

Resolvemos :
Simplificando, observamos que as duas primeiras linhas são iguais:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos:
Portanto, o autovetor correspondente a é qualquer múltiplo de .

Para :

Resolvemos :
Isso gera o sistema:
Então, temos:
Portanto, o autovetor correspondente a é qualquer múltiplo de .

Resposta

Os autovalores da matriz são , e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para : qualquer múltiplo de
  • Para : qualquer múltiplo de
  • Para : qualquer múltiplo de

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