Supondo que
possua uma expansão em serie de potências, obtenha a serie de Taylor de cada
centrada em
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Taylor para a função
centrada em
. Isso está no conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função
no ponto
e aplicar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Como a nossa função é polinomial de grau 2, a série de Taylor vai parar no termo de
, já que as derivadas de ordem superior serão zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
-
Função original:Avaliada em
: -
Primeira derivada:Avaliada em
: -
Segunda derivada:Avaliada em
: -
Terceira derivada e superiores:
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A série de Taylor da função
centrada em
é: