Supondo que f possua uma expansão em serie de potências, obtenha a serie de Taylor de cada f(x) centrada em a :
(a) f(x) = 1 + x + x^2, a =

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Taylor para a função centrada em . Isso está no conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto e aplicar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função centrada em :
Como a nossa função é polinomial de grau 2, a série de Taylor vai parar no termo de , já que as derivadas de ordem superior serão zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias de :
  1. Função original:
    Avaliada em :
  2. Primeira derivada:
    Avaliada em :
  3. Segunda derivada:
    Avaliada em :
  4. Terceira derivada e superiores:
    éã

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:

Resposta

A série de Taylor da função centrada em é:

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