Seja f(x)=rllx^3-y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) Determine: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para todos os pontos que não são e outra exatamente no ponto . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e .
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais, que são como “derivadas normais” mas para funções de várias variáveis. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = x^3 - y^2x^2 + y^2 em relação a partial fpartial x = v partial upartial x - u partial vpartial xv^2 quando partial upartial x = 3x^2, partial vpartial x = 2x .
Temos:
partial fpartial x = (x^2 + y^2)(3x^2) - (x^3 - y^2)(2x)(x^2 + y^2)^2
Para encontrar partial fpartial x = 3x^4 + 3x^2y^2 - 2x^4 + 2x y^2(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2 , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = v partial upartial y - u partial vpartial yv^2 em relação a partial upartial y = -2y, partial vpartial y = 2y quando partial fpartial y = (x^2 + y^2)(-2y) - (x^3 - y^2)(2y)(x^2 + y^2)^2 .
Usando novamente a regra do quociente:
partial fpartial y = -2x^2y - 2y^3 - 2x^3y + 2y^3(x^2 + y^2)^2 = -2x^2y - 2x^3y(x^2 + y^2)^2 = -2x y (x^2 + 1)(x^2 + y^2)^2
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h . Para isso, usamos o limite que define a derivada parcial.
Primeiro, para partial fpartial x(0, 0) = limh to 0 h - 0h = 1 em partial fpartial y(0, 0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k :
partial fpartial y(0, 0) = limk to 0 -1 - 0k
Sabendo que e , temos:
Agora, para em :
Sabendo que , temos:
Esse limite não existe porque depende do caminho pelo qual tende a zero. Então, concluímos que não existe.

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^2(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) 1 & se (x, y) = (0,0) são:
partial fpartial y = -2x y (x^2 + 1)(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) não existe & se (x, y) = (0,0)
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