Seja Determine: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para todos os pontos que não são e outra exatamente no ponto . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e .
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais, que são como “derivadas normais” mas para funções de várias variáveis. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a quando .
Temos:
Para encontrar , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a quando .
Usando novamente a regra do quociente:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . Para isso, usamos o limite que define a derivada parcial.
Primeiro, para em :
Sabendo que e , temos:
Agora, para em :
Sabendo que , temos:
Esse limite não existe porque depende do caminho pelo qual tende a zero. Então, concluímos que não existe.

Resposta

As derivadas parciais de são:
ã

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(a)
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