Seja
Determine: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras: uma para todos os pontos
que não são
e outra exatamente no ponto
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
.
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais, que são como “derivadas normais” mas para funções de várias variáveis. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
quando
.
Temos:
Para encontrar
, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
quando
.
Usando novamente a regra do quociente:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto
. Para isso, usamos o limite que define a derivada parcial.
Primeiro, para
em
:
Sabendo que
e
, temos:
Agora, para
em
:
Sabendo que
, temos:
Esse limite não existe porque depende do caminho pelo qual
tende a zero. Então, concluímos que
não existe.
Resposta
As derivadas parciais de
são: