Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: uma para todos os pontos que não são e outra exatamente no ponto . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e .
Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais, que são como “derivadas normais” mas para funções de várias variáveis. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a quando .
Temos:
Para encontrar , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a quando .
Usando novamente a regra do quociente:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . Para isso, usamos o limite que define a derivada parcial.
Primeiro, para em :
Sabendo que e , temos:
Agora, para em :
Sabendo que , temos:
Esse limite não existe porque depende do caminho pelo qual tende a zero. Então, concluímos que não existe.