Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular duas expressões envolvendo vetores: e . Aqui, vamos trabalhar com produto vetorial (o cruzamento entre dois vetores) e produto escalar (o ponto entre dois vetores). Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e o produto escalar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores dá um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Vamos aplicar isso aos nossos vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, -1, 0):
u times v = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & -1 & 0
Calculando o determinante:
u times v = i((-1)(0) - (1)(-1)) - j((2)(0) - (1)(1)) + k((2)(-1) - (-1)(1))
= i(0 + 1) - j(0 -1) + k(-2 +1)
= i(1) + j(1) + k(-1)
= (1, 1, -1)
Passo 3
Agora que temos u times v = (1, 1, -1), vamos calcular o produto escalar disso com w = (-1, 2, 2). O produto escalar entre dois vetores é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Então,
(u times v) cdot w = (1)(-1) + (1)(2) + (-1)(2) = -1 + 2 -2 = -1
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda expressão: u cdot (v times w). Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial v times w.
Usando a mesma fórmula:
v times w = i & j & k 1 & -1 & 0 -1 & 2 & 2
Calculando o determinante:
v times w = i((-1)(2) - (0)(2)) - j((1)(2) - (0)(-1)) + k((1)(2) - (-1)(-1))
= i(-2 -0) - j(2 -0) + k(2 -1)
= i(-2) - j(2) + k(1)
= (-2, -2, 1)
Passo 5
Agora que temos v times w = (-2, -2, 1), vamos calcular o produto escalar com u = (2, -1, 1):
u cdot (v times w) = (2)(-2) + (-1)(-2) + (1)(1) = -4 + 2 +1 = -1