Num espaço vetorial Ecom produto interno seja um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Mostre que é L.I.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno e um conjunto formado por vetores que são ortogonais entre si e que nenhum deles é o vetor zero. A pergunta é para mostrar que esse conjunto é linearmente independente (L.I.).
Conteúdo que vamos usar:
  • Conceito de produto interno.
  • Definição de conjunto ortogonal.
  • O que significa um conjunto ser linearmente independente.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
implica que .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade de que os vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero. Como nosso conjunto é ortogonal, temos que para todo , , e como nenhum vetor é nulo, .

Passo 4

Vamos assumir que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Para mostrar que todos os são zero, vamos aplicar o produto interno com em ambos os lados da equação:
Devido à ortogonalidade, todos os termos com desaparecem, restando:
Como , concluímos que .

Resposta

Portanto, todos os coeficientes são zero, o que mostra que o conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados

(i) Se , então e são colineares.
(ii) Se e são colineares, então .
(iii) As coordenadas do ponto , simétrico de em relação a , são .
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
Determine os valores de e que tornam o sistema
(b) compatível e indeterminado;
Dados os vetores e , calcular:
e
Dados os vetores e , calcular: