Num espaço vetorial Ecom produto interno seja um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Mostre que é L.I.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno e um conjunto formado por vetores que são ortogonais entre si e que nenhum deles é o vetor zero. A pergunta é para mostrar que esse conjunto é linearmente independente (L.I.).
Conteúdo que vamos usar:
Conceito de produto interno.
Definição de conjunto ortogonal.
O que significa um conjunto ser linearmente independente.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
implica que .
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade de que os vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero. Como nosso conjunto é ortogonal, temos que para todo , , e como nenhum vetor é nulo, .
Passo 4
Vamos assumir que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Para mostrar que todos os são zero, vamos aplicar o produto interno com em ambos os lados da equação:
Devido à ortogonalidade, todos os termos com desaparecem, restando:
Como , concluímos que .
Resposta
Portanto, todos os coeficientes são zero, o que mostra que o conjunto é linearmente independente.