Num espaço vetorial Ecom produto interno seja
um conjunto ortogonal de vetores não nulos. Mostre que
é L.I.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com produto interno e um conjunto
formado por vetores que são ortogonais entre si e que nenhum deles é o vetor zero. A pergunta é para mostrar que esse conjunto
é linearmente independente (L.I.).
Conteúdo que vamos usar:
- Conceito de produto interno.
- Definição de conjunto ortogonal.
- O que significa um conjunto ser linearmente independente.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade de que os vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero. Como nosso conjunto
é ortogonal, temos que para todo
,
, e como nenhum vetor é nulo,
.
Passo 4
Vamos assumir que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Para mostrar que todos os
são zero, vamos aplicar o produto interno com
em ambos os lados da equação:
Devido à ortogonalidade, todos os termos com
desaparecem, restando:
Como
, concluímos que
.
Resposta
Portanto, todos os coeficientes
são zero, o que mostra que o conjunto
é linearmente independente.