(i) Se , então e são colineares.
(ii) Se e são colineares, então .
(iii) As coordenadas do ponto , simétrico de em relação a , são .
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três afirmações sobre pontos colineares e determinantes de matrizes. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas usando conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa pontos serem colineares e como os determinantes estão relacionados a isso.
Passo 2
Vamos começar com a afirmação (i):
“Se , então e são colineares.”
Aqui, o determinante da matriz 3x3 formada pelas coordenadas dos pontos , e é igual a zero. Na álgebra linear, um determinante igual a zero indica que as linhas da matriz são linearmente dependentes. No contexto de geometria, isso significa que os três pontos estão na mesma linha, ou seja, são colineares. Portanto, a afirmação (i) é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação (ii):
“Se e são colineares, então .”
Se os pontos , e são colineares, isso significa que há uma relação linear entre eles. Consequentemente, a matriz formada por suas coordenadas terá linhas linearmente dependentes, o que faz com que o determinante seja zero. Portanto, a afirmação (ii) também é verdadeira.
Passo 4
Vamos analisar a afirmação (iii):
“As coordenadas do ponto , simétrico de em relação a , são .”
Para encontrar o ponto simétrico de em relação a , usamos a fórmula do ponto médio. Se é o ponto médio entre e , então temos:
Resolvendo para , multiplicamos cada coordenada por 2 e subtraímos a coordenada correspondente de :
Portanto, a afirmação (iii) está correta.
Resposta
A resposta correta é a letra b) Todas as afirmações são verdadeiras.