Seja T: R^2 R^2 a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y, 2 x+y). Dentre os vetores v1=(2,1), v2=(-1,1), v3=(2,3) e v4=(4,4), identifique os que são autovetores de T e os seus respectivos autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares e Autovalores. A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir quais dos vetores , , e são autovetores dessa transformação e encontrar os respectivos autovalores. Para isso, vamos precisar entender o que são autovetores e autovalores e como aplicá-los na transformação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Um vetor T(v) = lambda v é um autovetor de se, ao aplicar em , o resultado for um múltiplo de . Isso pode ser escrito como:
onde é o autovalor correspondente.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(2,1) = (2 + 2 cdot 1, 2 cdot 2 + 1) = (4,5) em cada um dos vetores e ver se o resultado é um múltiplo do próprio vetor. Começando com (4,5) = lambda (2,1) :
4 = 2lambda Rightarrow lambda = 2
Agora, verificamos se 5 = lambda Rightarrow lambda = 5 é um múltiplo de . Ou seja, existe um tal que:
Resolvendo, teremos:
Como não é consistente, não é um autovetor de .

Passo 4

Vamos para T(-1,1) = (-1 + 2 cdot 1, 2 cdot (-1) + 1) = (1, -1) :
1 = lambda (-1) Rightarrow lambda = -1
Verificamos se -1 = lambda (1) Rightarrow lambda = -1 é um múltiplo de :
Aqui, é consistente, então é um autovetor de com autovalor .

Passo 5

Agora, T(2,3) = (2 + 2 cdot 3, 2 cdot 2 + 3) = (8,7) :
8 = 2lambda Rightarrow lambda = 4
Verificamos se 7 = 3lambda Rightarrow lambda = 73 é um múltiplo de :
Como as soluções para são diferentes, não é um autovetor de .

Passo 6

Por fim, T(4,4) = (4 + 2 cdot 4, 2 cdot 4 + 4) = (12, 12) :
12 = 4lambda Rightarrow lambda = 3
Verificamos se 12 = 4lambda Rightarrow lambda = 3 é um múltiplo de :
Aqui, é consistente, então é um autovetor de com autovalor .

Resposta

Os autovetores de são com autovalor e com autovalor .

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