Seja
a transformação linear definida por
. Dentre os vetores
e
, identifique os que são autovetores de
e os seus respectivos autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares e Autovalores. A gente tem uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é descobrir quais dos vetores
,
,
e
são autovetores dessa transformação e encontrar os respectivos autovalores. Para isso, vamos precisar entender o que são autovetores e autovalores e como aplicá-los na transformação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e um autovalor. Um vetor
é um autovetor de
se, ao aplicar
em
, o resultado for um múltiplo de
. Isso pode ser escrito como:
onde
é o autovalor correspondente.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
em cada um dos vetores e ver se o resultado é um múltiplo do próprio vetor. Começando com
:
Agora, verificamos se
é um múltiplo de
. Ou seja, existe um
tal que:
Resolvendo, teremos:
Como
não é consistente,
não é um autovetor de
.
Passo 4
Vamos para
:
Verificamos se
é um múltiplo de
:
Aqui,
é consistente, então
é um autovetor de
com autovalor
.
Passo 5
Agora,
:
Verificamos se
é um múltiplo de
:
Como as soluções para
são diferentes,
não é um autovetor de
.
Passo 6
Por fim,
:
Verificamos se
é um múltiplo de
:
Aqui,
é consistente, então
é um autovetor de
com autovalor
.
Resposta
Os autovetores de
são
com autovalor
e
com autovalor
.