Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcular:
(u times v) cdot(u times v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o produto escalar de u times v com ele mesmo. Isso envolve dois conceitos principais da álgebra vetorial: o produto vetorial (ou cruz) e o produto escalar. Para resolver, vamos primeiro calcular o produto vetorial entre u e v e depois fazer o produto escalar desse resultado com ele mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial entre dois vetores em 3 dimensões resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Para nossos vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, -1, 0), temos:
u times v = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & -1 & 0
Calculando o determinante:
u times v = i((-1)(0) - (1)(-1)) - j((2)(0) - (1)(1)) + k((2)(-1) - (-1)(1))
u times v = i(0 + 1) - j(0 - 1) + k(-2 + 1)
u times v = i(1) + j(1) + k(-1)
Então,
u times v = (1, 1, -1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desse vetor com ele mesmo, ou seja, (u times v) cdot (u times v). O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número real e é calculado multiplicando os componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos. A fórmula é:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso ao nosso vetor (1, 1, -1):
(1, 1, -1) cdot (1, 1, -1) = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(-1)
= 1 + 1 + 1 = 3

Resposta

O valor de (u times v) cdot (u times v) é 3.

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