Dados os vetores u=(3,0,1), v=(2,2,2) e w=(2,0,-3), calcular:
a) (u, v, w)
b) (w, u, v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: u = (3, 0, 1), v = (2, 2, 2) e w = (2, 0, -3). O que a gente precisa calcular são os produtos mistos (u, v, w) e (w, u, v). O conteúdo envolvido aqui é o produto misto de três vetores, que nos ajuda a encontrar o volume de um paralelepípedo formado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a determinante de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto de três vetores. O produto misto (a, b, c) é igual à determinante da matriz formada pelos vetores a, b e c como colunas. Ou seja:
(a, b, c) = a1 & b1 & c1 a2 & b2 & c2 a3 & b3 & c3
Isso também pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o item a): (u, v, w).
Substituindo os vetores na fórmula:
(u, v, w) = 3 & 2 & 2 0 & 2 & 0 1 & 2 & -3

Passo 4

Agora, vamos calcular essa determinante. A forma de calcular a determinante de uma matriz 3x3 é usando a regra de Sarrus ou a regra de cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
3 & 2 & 2 0 & 2 & 0 1 & 2 & -3 &= 3 times 2 times (-3) + 2 times 0 times 1 + 2 times 0 times 2 & - (2 times 2 times 1 + 2 times 0 times 3 + (-3) times 0 times 2) &= 3 times 2 times (-3) + 0 + 0 - (4 + 0 + 0) &= -18 - 4 &= -22

Passo 5

Então, o produto misto (u, v, w) = -22.
Agora, vamos para o item b): (w, u, v).
Substituindo os vetores na fórmula:
(w, u, v) = 2 & 3 & 2 0 & 0 & 2 -3 & 1 & 2

Passo 6

Calculando essa determinante usando a regra de Sarrus:
2 & 3 & 2 0 & 0 & 2 -3 & 1 & 2 &= 2 times 0 times 2 + 3 times 2 times (-3) + 2 times 0 times 1 & - (2 times 0 times (-3) + 2 times 2 times 2 + 2 times 0 times 1) &= 0 + (-18) + 0 - (0 + 8 + 0) &= -18 - 8 &= -26

Resposta

a) (u, v, w) = -22
b) (w, u, v) = -26

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