Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . O que a gente precisa calcular são os produtos mistos e . O conteúdo envolvido aqui é o produto misto de três vetores, que nos ajuda a encontrar o volume de um paralelepípedo formado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a determinante de uma matriz 3x3.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto de três vetores. O produto misto é igual à determinante da matriz formada pelos vetores , e como colunas. Ou seja:
Isso também pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 3
Vamos calcular primeiro o item a): (u, v, w).
Substituindo os vetores na fórmula:
(u, v, w) = 3 & 2 & 2 0 & 2 & 0 1 & 2 & -3
Passo 4
Agora, vamos calcular essa determinante. A forma de calcular a determinante de uma matriz 3x3 é usando a regra de Sarrus ou a regra de cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
3 & 2 & 2 0 & 2 & 0 1 & 2 & -3 &= 3 times 2 times (-3) + 2 times 0 times 1 + 2 times 0 times 2 & - (2 times 2 times 1 + 2 times 0 times 3 + (-3) times 0 times 2) &= 3 times 2 times (-3) + 0 + 0 - (4 + 0 + 0) &= -18 - 4 &= -22
Passo 5
Então, o produto misto (u, v, w) = -22.
Agora, vamos para o item b): (w, u, v).
Substituindo os vetores na fórmula:
(w, u, v) = 2 & 3 & 2 0 & 0 & 2 -3 & 1 & 2
Passo 6
Calculando essa determinante usando a regra de Sarrus:
2 & 3 & 2 0 & 0 & 2 -3 & 1 & 2 &= 2 times 0 times 2 + 3 times 2 times (-3) + 2 times 0 times 1 & - (2 times 0 times (-3) + 2 times 2 times 2 + 2 times 0 times 1) &= 0 + (-18) + 0 - (0 + 8 + 0) &= -18 - 8 &= -26