Dados os vetores e , calcular:
a)
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . O que a gente precisa calcular são os produtos mistos e . O conteúdo envolvido aqui é o produto misto de três vetores, que nos ajuda a encontrar o volume de um paralelepípedo formado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a determinante de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto de três vetores. O produto misto é igual à determinante da matriz formada pelos vetores , e como colunas. Ou seja:
Isso também pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o item a): .
Substituindo os vetores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa determinante. A forma de calcular a determinante de uma matriz 3x3 é usando a regra de Sarrus ou a regra de cofactores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 5

Então, o produto misto .
Agora, vamos para o item b): .
Substituindo os vetores na fórmula:

Passo 6

Calculando essa determinante usando a regra de Sarrus:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Se e , determinar:
a)
b)
c) .
Prove que se , então .
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de V definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .
Verdadeiro ou falso? Justique.
A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto de suas transpostas.