Se e , determinar:
a)
b)
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! Temos três vetores no espaço tridimensional e precisamos calcular algumas operações entre eles, como o produto vetorial e o produto escalar. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre vetores e o produto escalar, além de entender algumas propriedades desses produtos.

Passo 2

a) Calcular
Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial de um vetor consigo mesmo. O produto vetorial sempre resulta no vetor nulo, ou seja, . Isso acontece porque o ângulo entre e ele mesmo é zero, e o seno de zero é zero, tornando todo o produto vetorial igual a zero.
Então:
E o módulo (ou norma) desse vetor é:

Passo 3

b) Calcular
Primeiro, vamos encontrar o vetor :
Agora, vamos calcular o produto vetorial onde :
Para calcular o produto vetorial, usamos a regra da matriz determinante:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 4

c) Calcular
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Simplificando:
Agora, fazemos o produto escalar de com esse resultado:

Resposta

a)
b)
c)

Exercícios relacionados

Prove que se , então .
Encontre a distância do ponto ao ponto .
Dados os vetores e , calcular:
a)
b) .
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de V definamos por .
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
b) Mostrar que se e , então o produto escalar em pode ser expresso na forma matricial seguinte: .