Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=i+k, determinar:
a) |u times u|
b) (u-v) times w
c) u cdot(v times w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! Temos três vetores no espaço tridimensional e precisamos calcular algumas operações entre eles, como o produto vetorial e o produto escalar. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre vetores e o produto escalar, além de entender algumas propriedades desses produtos.

Passo 2

a) Calcular u times u = 0
Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial de um vetor consigo mesmo. O produto vetorial |u times u| = 0 sempre resulta no vetor nulo, ou seja, . Isso acontece porque o ângulo entre e ele mesmo é zero, e o seno de zero é zero, tornando todo o produto vetorial igual a zero.
Então:
E o módulo (ou norma) desse vetor é:

Passo 3

b) Calcular u = 3i - j - 2k v = 2i + 4j - k u - v = (3i - j - 2k) - (2i + 4j - k) u - v = (3 - 2)i + (-1 - 4)j + (-2 + 1)k u - v = i - 5j - k
Primeiro, vamos encontrar o vetor (u - v) times w = (i - 5j - k) times (i + k) :
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Agora, vamos calcular o produto vetorial i & j & k 1 & -5 & -1 1 & 0 & 1 = i((-5)(1) - (-1)(0)) - j((1)(1) - (-1)(1)) + k((1)(0) - (-5)(1)) onde = i(-5 - 0) - j(1 + 1) + k(0 + 5) = -5i - 2j + 5k :
Para calcular o produto vetorial, usamos a regra da matriz determinante:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 4

c) Calcular v = 2i + 4j - k w = i + k v times w = i & j & k 2 & 4 & -1 1 & 0 & 1 = i(4 cdot 1 - (-1) cdot 0) - j(2 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(2 cdot 0 - 4 cdot 1)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial = i(4 - 0) - j(2 + 1) + k(0 - 4) = 4i - 3j - 4k :
u = 3i - j - 2k u cdot (v times w) = (3)(4) + (-1)(-3) + (-2)(-4) = 12 + 3 + 8 = 23
Simplificando:
Agora, fazemos o produto escalar de com esse resultado:

Resposta

a)
b)
c)

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