Prove que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte afirmação: se
, então
. Isso está relacionado ao teorema de cancelamento em álgebra vetorial. Para provar isso, vamos usar propriedades básicas dos vetores e operações com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em álgebra vetorial, a adição de vetores é comutativa e associativa, e existe o vetor nulo que, quando adicionado a qualquer vetor, não altera ele. Além disso, para cada vetor, existe um vetor oposto que, quando somado ao vetor original, resulta no vetor nulo.
Passo 3
Agora, vamos começar a prova. Temos:
Para isolar
e
, vamos subtrair
de ambos os lados da equação. Lembrando que subtrair um vetor é a mesma coisa que adicionar o vetor oposto.
Passo 4
Então, subtraindo
de ambos os lados:
Por propriedades da adição de vetores,
(vetor nulo). Então, simplificando:
Resposta
Portanto, provamos que se
, então
.