Prove que se u+v=u+w, então v=w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte afirmação: se , então . Isso está relacionado ao teorema de cancelamento em álgebra vetorial. Para provar isso, vamos usar propriedades básicas dos vetores e operações com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em álgebra vetorial, a adição de vetores é comutativa e associativa, e existe o vetor nulo que, quando adicionado a qualquer vetor, não altera ele. Além disso, para cada vetor, existe um vetor oposto que, quando somado ao vetor original, resulta no vetor nulo.

Passo 3

Agora, vamos começar a prova. Temos:
u + v = u + w
Para isolar e , vamos subtrair de ambos os lados da equação. Lembrando que subtrair um vetor é a mesma coisa que adicionar o vetor oposto.

Passo 4

Então, subtraindo u + v - u = u + w - u de ambos os lados:
v = w
Por propriedades da adição de vetores, (vetor nulo). Então, simplificando:

Resposta

Portanto, provamos que se , então .

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