Dados os vetores u=(-1,3,2), v=(1,5,-2) e w=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
c) v times(u times w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores:
  • u=(-1,3,2)
  • v=(1,5,-2)
  • w=(-7,3,1)
A pergunta quer que a gente calcule v times (u times w). Aqui, estamos lidando com produto vetorial, que é uma operação entre dois vetores resultando em outro vetor perpendicular aos dois originais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma propriedade do produto vetorial chamada produto misto ou identidade de Jacobi, que ajuda a simplificar expressões envolvendo produtos cruzados de três vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a propriedade que vamos usar:
a times (b times c) = b (a cdot c) - c (a cdot b)
Isso significa que o produto vetorial de a com o produto vetorial de b e c pode ser expresso como b vezes o produto escalar de a e c menos c vezes o produto escalar de a e b.
No nosso caso, a = v, b = u e c = w.

Passo 3

Aplicando a fórmula, temos:
v times (u times w) = u (v cdot w) - w (v cdot u)
Agora, vamos calcular os produtos escalares v cdot w e v cdot u.

Passo 4

Calculando v cdot w:
v cdot w = (1)(-7) + (5)(3) + (-2)(1) = -7 + 15 - 2 = 6
Calculando v cdot u:
v cdot u = (1)(-1) + (5)(3) + (-2)(2) = -1 + 15 - 4 = 10

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na expressão que obtivemos:
v times (u times w) = u times 6 - w times 10
Isso significa que vamos multiplicar cada componente de u por 6 e cada componente de w por 10.

Passo 6

Multiplicando u por 6:
u times 6 = (-1 times 6, 3 times 6, 2 times 6) = (-6, 18, 12)
Multiplicando w por 10:
w times 10 = (-7 times 10, 3 times 10, 1 times 10) = (-70, 30, 10)

Passo 7

Agora, subtraímos w times 10 de u times 6:
v times (u times w) = (-6, 18, 12) - (-70, 30, 10) = (-6 + 70, 18 - 30, 12 - 10) = (64, -12, 2)

Resposta

As coordenadas de v times (u times w) são (64, -12, 2).

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