(1,0 pt) Determine, se houver, a interseção entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se há uma interseção entre dois planos no espaço tridimensional. Os planos são dados pelas equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como identificar a interseção entre planos. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre dois planos. Em 3D, dois planos podem:
Não se encontrar de jeito nenhum (se forem paralelos e distintos).
Se encontrarem em uma reta.
Ser o mesmo plano, ou seja, infinitas interseções.
Nosso objetivo é descobrir qual dessas situações ocorre com os planos e .
Passo 3
Para verificar a interseção, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de , e que satisfaçam ambas as equações.
Passo 4
Vamos simplificar a equação (2) dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, temos:
Passo 5
Vamos somar as equações (1) e (2’) para eliminar :
Simplificando dividindo por 4:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação (3) na equação (2’) para encontrar :
Passo 7
Agora que temos em termos de e fixo, podemos expressar como um parâmetro . Vamos deixar .
Então:
Passo 8
Assim, a interseção dos planos e é uma reta parametrizada por . A equação vetorial dessa reta pode ser escrita como:
Resposta
Os planos x = 138 + t y = 18 z = t e intersectam-se ao longo da reta definida por: