(1,0 pt) Determine, se houver, a interseção entre os planos pi: 3 x+y-3 z-5=0 e alpha: 2 x-2 y-2 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se há uma interseção entre dois planos no espaço tridimensional. Os planos são dados pelas equações:
pi: 3x + y - 3z - 5 = 0
alpha: 2x - 2y - 2z = 3
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como identificar a interseção entre planos. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre dois planos. Em 3D, dois planos podem:
  1. Não se encontrar de jeito nenhum (se forem paralelos e distintos).
  2. Se encontrarem em uma reta.
  3. Ser o mesmo plano, ou seja, infinitas interseções.
Nosso objetivo é descobrir qual dessas situações ocorre com os planos e .

Passo 3

Para verificar a interseção, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
3x + y - 3z = 5 (1) 2x - 2y - 2z = 3 (2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de , e que satisfaçam ambas as equações.

Passo 4

Vamos simplificar a equação (2) dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
2x - 2y - 2z = 3 Rightarrow x - y - z = 32 (2')
Agora, temos:
3x + y - 3z = 5 (1) x - y - z = 32 (2')

Passo 5

Vamos somar as equações (1) e (2’) para eliminar (3x + y - 3z) + (x - y - z) = 5 + 32 :
4x - 4z = 132
x - z = 138
Simplificando dividindo por 4:
x = z + 138 (3)

Passo 6

Agora, vamos usar a equação (3) na equação (2’) para encontrar (z + 138) - y - z = 32 :
138 - y = 32
-y = 32 - 138 = 128 - 138 = -18
y = 18

Passo 7

Agora que temos x = t + 138 em termos de y = 18 e z = t fixo, podemos expressar como um parâmetro . Vamos deixar .
Então:

Passo 8

Assim, a interseção dos planos x = 138 + t y = 18 z = t e é uma reta parametrizada por . A equação vetorial dessa reta pode ser escrita como:

Resposta

Os planos x = 138 + t y = 18 z = t e intersectam-se ao longo da reta definida por:
onde é um número real.

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