Verifique que u1, u2 é um conjunto ortogonal e, depois, encontre a projeção ortogonal de y sobre Lu1, u2.
b) y=[r-1 2 6] ; u1=[r3 -1 2] ; u2=[r1 -1 -2]

Passo 1

Entendendo o Enunciado
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u1 e u2, e queremos verificar se eles formam um conjunto ortogonal. Depois disso, precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor y sobre o espaço gerado por u1 e u2, denotado por Lu1, u2.
Conteúdo da Matéria Necessário
Para resolver essa questão, vamos precisar entender os seguintes conceitos:
  1. Produto Escalar (ou Produto Interno): Uma maneira de multiplicar dois vetores que nos ajuda a determinar se eles são ortogonais.
  2. Conjunto Ortogonal: Um conjunto de vetores onde o produto escalar entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
  3. Projeção Ortogonal: A sombra de um vetor sobre um subespaço, usando vetores ortogonais como base.

Passo 2

Verificando se o Conjunto é Ortogonal
Primeiro, vamos verificar se o conjunto u1, u2 é ortogonal. Para isso, calculamos o produto escalar entre u1 e u2. Se o resultado for zero, os vetores são ortogonais.
Dados:
u1 = 3 -1 2 , u2 = 1 -1 -2
Calculando o produto escalar:
u1 cdot u2 = (3)(1) + (-1)(-1) + (2)(-2) = 3 + 1 - 4 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores u1 e u2 são ortogonais.

Passo 3

Entendendo a Projeção Ortogonal
Agora que confirmamos que u1, u2 é um conjunto ortogonal, podemos encontrar a projeção ortogonal do vetor y sobre o espaço Lu1, u2.
A fórmula para a projeção de y em um subespaço gerado por vetores ortogonais é:
projLy = y cdot u1u1 cdot u1 u1 + y cdot u2u2 cdot u2 u2

Passo 4

Calculando os Produtos Escalares Necessários
Vamos calcular cada parte da fórmula:
Dados:
y = -1 2 6
Primeiro, calculamos y cdot u1:
y cdot u1 = (-1)(3) + (2)(-1) + (6)(2) = -3 -2 +12 = 7
Em seguida, calculamos u1 cdot u1:
u1 cdot u1 = (3)^2 + (-1)^2 + (2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14
Agora, calculamos y cdot u2:
y cdot u2 = (-1)(1) + (2)(-1) + (6)(-2) = -1 -2 -12 = -15
E por fim, u2 cdot u2:
u2 cdot u2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6

Passo 5

Calculando a Projeção Ortogonal
Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula da projeção:
projLy = ( 714 ) u1 + ( -156 ) u2
projLy = ( 12 ) 3 -1 2 + ( -52 ) 1 -1 -2
Calculando cada termo:
( 12 ) 3 -1 2 = 32 -12 1
( -52 ) 1 -1 -2 = -52 52 5
Agora, somamos os dois resultados:
32 -12 1 + -52 52 5 = 32 - 52 -12 + 52 1 + 5 = -1 2 6

Resposta

A projeção ortogonal de y sobre Lu1, u2 é:
projLy = -1 2 6

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