Dados os vetores
e
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
e
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores:
,
e
. O que precisamos fazer aqui é calcular várias combinações de produtos vetoriais e escalares entre eles. Para isso, vamos usar as definições de produto vetorial (
) e produto escalar (
). Vou explicar cada passo direitinho para ficar tudo claro!
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre
e
. O produto vetorial entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Então,
Passo 3
(b)
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, calculamos o produto vetorial
.
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
Calculando cada componente:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Então,
Passo 4
©
Primeiro, vamos calcular
e
:
Agora, calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores:
Calculando cada componente:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Então,
Passo 5
(d)
Primeiro, multiplicamos os vetores por seus escalares:
Agora, calculamos o produto vetorial entre
e
:
Calculando cada componente:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Então,
Passo 6
(e)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
:
Calculando cada componente:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Então,
Agora, vamos calcular o produto escalar desse vetor consigo mesmo:
Passo 7
(f)
e
Primeiro, já calculamos
. Vamos usar esse resultado para calcular o produto escalar com
:
Calculando o produto escalar:
Agora, vamos calcular
:
Calculando cada componente:
-
Primeiro componente:
-
Segundo componente:
-
Terceiro componente:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar de
com esse vetor:
Calculando:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
e
Exercícios relacionados
O produto vetorial é associativo? Isto é, vale
, para quaisquer vetores
e
do
? (Dica: experimente com os vetores
.)
Sendo
e
, calcule
e
.
Sabendo que
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Sabendo que
, calcular: