Dados os vetores e , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores: , e . O que precisamos fazer aqui é calcular várias combinações de produtos vetoriais e escalares entre eles. Para isso, vamos usar as definições de produto vetorial ( ) e produto escalar ( ). Vou explicar cada passo direitinho para ficar tudo claro!

Passo 2

(a)

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então,

Passo 3

(b)

Primeiro, vamos calcular :
Agora, calculamos o produto vetorial .
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então,

Passo 4

©

Primeiro, vamos calcular e :
Agora, calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores:
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então,

Passo 5

(d)

Primeiro, multiplicamos os vetores por seus escalares:
Agora, calculamos o produto vetorial entre e :
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então,

Passo 6

(e)

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então,
Agora, vamos calcular o produto escalar desse vetor consigo mesmo:

Passo 7

(f) e

Primeiro, já calculamos . Vamos usar esse resultado para calcular o produto escalar com :
Calculando o produto escalar:
Agora, vamos calcular :
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
  • Segundo componente:
  • Terceiro componente:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar de com esse vetor:
Calculando:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) e

Exercícios relacionados

O produto vetorial é associativo? Isto é, vale , para quaisquer vetores e do ? (Dica: experimente com os vetores .)
Sendo e , calcule e .
Sabendo que , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Sabendo que , calcular: