Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcule:
(a) w times v
(b) v times(w-u)
© (u+v) times(u-v)
(d) (2 u) times(3 v)
(e) (u times v) cdot(u times v)
(f) (u times v) cdot w e u cdot(v times w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores: u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2). O que precisamos fazer aqui é calcular várias combinações de produtos vetoriais e escalares entre eles. Para isso, vamos usar as definições de produto vetorial ( times) e produto escalar ( cdot). Vou explicar cada passo direitinho para ficar tudo claro!

Passo 2

(a) w times v

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre w e v. O produto vetorial entre dois vetores a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3) é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Aplicando isso aos nossos vetores:
w = (-1, 2, 2) v = (1, -1, 0)
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
    2 cdot 0 - 2 cdot (-1) = 0 + 2 = 2
  • Segundo componente:
    2 cdot 1 - (-1) cdot 0 = 2 + 0 = 2
  • Terceiro componente:
    (-1) cdot (-1) - 2 cdot 1 = 1 - 2 = -1
Então,
w times v = (2, 2, -1)

Passo 3

(b) v times (w - u)

Primeiro, vamos calcular w - u:
w - u = (-1 - 2, 2 - (-1), 2 - 1) = (-3, 3, 1)
Agora, calculamos o produto vetorial v times (-3, 3, 1).
Usando a mesma fórmula do produto vetorial:
v = (1, -1, 0) a = (-3, 3, 1)
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
    (-1) cdot 1 - 0 cdot 3 = -1 - 0 = -1
  • Segundo componente:
    0 cdot (-3) - 1 cdot 1 = 0 - 1 = -1
  • Terceiro componente:
    1 cdot 3 - (-1) cdot (-3) = 3 - 3 = 0
Então,
v times (w - u) = (-1, -1, 0)

Passo 4

© (u + v) times (u - v)

Primeiro, vamos calcular u + v e u - v:
u + v = (2 + 1, -1 + (-1), 1 + 0) = (3, -2, 1) u - v = (2 - 1, -1 - (-1), 1 - 0) = (1, 0, 1)
Agora, calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores:
a = (3, -2, 1) b = (1, 0, 1)
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
    (-2) cdot 1 - 1 cdot 0 = -2 - 0 = -2
  • Segundo componente:
    1 cdot 1 - 3 cdot 1 = 1 - 3 = -2
  • Terceiro componente:
    3 cdot 0 - (-2) cdot 1 = 0 + 2 = 2
Então,
(u + v) times (u - v) = (-2, -2, 2)

Passo 5

(d) (2 u) times (3 v)

Primeiro, multiplicamos os vetores por seus escalares:
2 u = 2 cdot (2, -1, 1) = (4, -2, 2) 3 v = 3 cdot (1, -1, 0) = (3, -3, 0)
Agora, calculamos o produto vetorial entre (4, -2, 2) e (3, -3, 0):
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
    (-2) cdot 0 - 2 cdot (-3) = 0 + 6 = 6
  • Segundo componente:
    2 cdot 3 - 4 cdot 0 = 6 - 0 = 6
  • Terceiro componente:
    4 cdot (-3) - (-2) cdot 3 = -12 + 6 = -6
Então,
(2 u) times (3 v) = (6, 6, -6)

Passo 6

(e) (u times v) cdot (u times v)

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v:
u = (2, -1, 1) v = (1, -1, 0)
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
    (-1) cdot 0 - 1 cdot (-1) = 0 + 1 = 1
  • Segundo componente:
    1 cdot 1 - 2 cdot 0 = 1 - 0 = 1
  • Terceiro componente:
    2 cdot (-1) - (-1) cdot 1 = -2 + 1 = -1
Então,
u times v = (1, 1, -1)
Agora, vamos calcular o produto escalar desse vetor consigo mesmo:
(1, 1, -1) cdot (1, 1, -1) = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 + (-1) cdot (-1) = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 7

(f) u times v cdot w e u cdot (v times w)

Primeiro, já calculamos u times v = (1, 1, -1). Vamos usar esse resultado para calcular o produto escalar com w:
w = (-1, 2, 2)
Calculando o produto escalar:
(1, 1, -1) cdot (-1, 2, 2) = 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + (-1) cdot 2 = -1 + 2 - 2 = -1
Agora, vamos calcular v times w:
v = (1, -1, 0) w = (-1, 2, 2)
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente:
    (-1) cdot 2 - 0 cdot 2 = -2 - 0 = -2
  • Segundo componente:
    0 cdot (-1) - 1 cdot 2 = 0 - 2 = -2
  • Terceiro componente:
    1 cdot 2 - (-1) cdot (-1) = 2 - 1 = 1
Então,
v times w = (-2, -2, 1)
Agora, calculamos o produto escalar de u com esse vetor:
u = (2, -1, 1) a = (-2, -2, 1)
Calculando:
2 cdot (-2) + (-1) cdot (-2) + 1 cdot 1 = -4 + 2 + 1 = -1

Resposta

(a) w times v = (2, 2, -1)
(b) v times (w - u) = (-1, -1, 0)
© (u + v) times (u - v) = (-2, -2, 2)
(d) (2 u) times (3 v) = (6, 6, -6)
(e) (u times v) cdot (u times v) = 3
(f) (u times v) cdot w = -1 e u cdot (v times w) = -1

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