O produto vetorial é associativo? Isto é, vale u times(v times w)=(u times v) times w, para quaisquer vetores u, v e w do R^3 ? (Dica: experimente com os vetores imath, jmath, kappa.)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o produto vetorial é associativo, ou seja, se para quaisquer vetores u times (v times w) = (u times v) times w , e em , a seguinte igualdade é verdadeira:
Para resolver isso, vamos usar vetores básicos no espaço tridimensional, conhecidos como vetores canônicos: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A operação não é comutativa, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular u = imath, v = jmath, w = kappa usando os vetores v times w = jmath times kappa = imath , u times (v times w) = imath times imath = 0 e . Primeiro, precisamos calcular .
Vamos escolher:
Então:
Agora, temos:
(O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor nulo.)

Passo 4

Agora, vamos calcular u times v = imath times jmath = kappa .
Primeiro:
(u times v) times w = kappa times kappa = 0
Agora:

Passo 5

Comparamos os resultados obtidos:
u times (v times w) = 0
(u times v) times w = 0
Até aqui, parece que as duas expressões são iguais. Mas vamos testar com outros vetores para ter certeza.

Passo 6

Vamos escolher outros vetores para verificar. Por exemplo:
u = imath, v = imath, w = jmath
Calculando imath times jmath = kappa :
u times (v times w) = imath times kappa = -jmath
Então:
imath times imath = 0
Agora, calculando 0 times jmath = 0 :

Passo 7

Comparando os resultados:
u times (v times w) = -jmath
(u times v) times w = 0
Aqui, as duas expressões não são iguais. Portanto, o produto vetorial não é associativo.

Resposta

O produto vetorial não é associativo, ou seja, para vetores quaisquer em .

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