O produto vetorial é associativo? Isto é, vale , para quaisquer vetores e do ? (Dica: experimente com os vetores .)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o produto vetorial é associativo, ou seja, se para quaisquer vetores , e em , a seguinte igualdade é verdadeira:
Para resolver isso, vamos usar vetores básicos no espaço tridimensional, conhecidos como vetores canônicos: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A operação não é comutativa, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular usando os vetores , e . Primeiro, precisamos calcular .
Vamos escolher:
Então:
Agora, temos:
(O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor nulo.)

Passo 4

Agora, vamos calcular .
Primeiro:
Agora:

Passo 5

Comparamos os resultados obtidos:
Até aqui, parece que as duas expressões são iguais. Mas vamos testar com outros vetores para ter certeza.

Passo 6

Vamos escolher outros vetores para verificar. Por exemplo:
Calculando :
Então:
Agora, calculando :

Passo 7

Comparando os resultados:
Aqui, as duas expressões não são iguais. Portanto, o produto vetorial não é associativo.

Resposta

O produto vetorial não é associativo, ou seja, para vetores quaisquer em .

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Sendo e , calcule e .
Determine um vetor não nulo que seja ortogonal ao plano que contém os pontos e .
Dados os vetores e , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) e
Sabendo que , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)