O produto vetorial é associativo? Isto é, vale
, para quaisquer vetores
e
do
? (Dica: experimente com os vetores
.)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o produto vetorial é associativo, ou seja, se para quaisquer vetores
,
e
em
, a seguinte igualdade é verdadeira:
Para resolver isso, vamos usar vetores básicos no espaço tridimensional, conhecidos como vetores canônicos:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A operação não é comutativa, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
usando os vetores
,
e
. Primeiro, precisamos calcular
.
Vamos escolher:
Então:
Agora, temos:
(O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor nulo.)
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Primeiro:
Agora:
Passo 5
Comparamos os resultados obtidos:
Até aqui, parece que as duas expressões são iguais. Mas vamos testar com outros vetores para ter certeza.
Passo 6
Vamos escolher outros vetores para verificar. Por exemplo:
Calculando
:
Então:
Agora, calculando
:
Passo 7
Comparando os resultados:
Aqui, as duas expressões não são iguais. Portanto, o produto vetorial não é associativo.
Resposta
O produto vetorial não é associativo, ou seja,
para vetores quaisquer em
.
Exercícios relacionados
Sendo
e
, calcule
e
.
Determine um vetor não nulo que seja ortogonal ao plano que contém os pontos
e
.
Dados os vetores
e
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) e
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Sabendo que
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)