Sabendo que u cdot(v times w)=2, calcule:
(a) u cdot(w times v)
(b) v cdot(w times u)
© (w times u) cdot(3 v)
(d) u cdot(u times w)
(e) u cdot(2 w times v)
(f) (u+v) cdot(u times w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que . Esse tipo de expressão é conhecida como produto misto ou produto escalar triplo, que está relacionado com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . Para resolver as partes (a) a (f), vamos usar propriedades do produto misto, como a anticomutatividade e a distributividade.

Passo 2

Parte (a): u cdot (w times v) = u cdot (-v times w) = -(u cdot (v times w)) = -2
Primeiro, sabemos que a ordem dos vetores no produto vetorial afeta o sinal. Especificamente, . Então:

Passo 3

Parte (b): v cdot (w times u) = u cdot (v times w) = 2
Usando a propriedade ciclíca do produto escalar triplo, temos:

Passo 4

Parte ©: (w times u) cdot (3v) = 3 cdot [(w times u) cdot v]
Primeiro, multiplicamos o vetor por escalar:
(w times u) = -(u times w)
Usando a propriedade anticomutativa:
3 cdot [ -(u times w) cdot v ] = -3 cdot (u cdot (v times w)) = -3 cdot 2 = -6
Então:

Passo 5

Parte (d): u cdot (u times w) = 0
O produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero, porque é perpendicular a . Então:

Passo 6

Parte (e): u cdot (2w times v) = 2 cdot (u cdot (w times v))
Primeiro, extraímos o escalar:
w times v = -(v times w)
Usando a propriedade anticomutativa:
2 cdot (u cdot (-v times w)) = -2 cdot (u cdot (v times w)) = -2 cdot 2 = -4
Então:

Passo 7

Parte (f): (u + v) cdot (u times w) = u cdot (u times w) + v cdot (u times w)
Vamos distribuir o produto escalar:
v cdot (u times w) = v cdot (u times w) = -v cdot (w times u) = -(v cdot (w times u)) = -(u cdot (v times w)) = -2
Sabemos que 0 + (-2) = -2 . Para a segunda parte:
Então:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

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