Sabendo que
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que
. Esse tipo de expressão é conhecida como produto misto ou produto escalar triplo, que está relacionado com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. Para resolver as partes (a) a (f), vamos usar propriedades do produto misto, como a anticomutatividade e a distributividade.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, sabemos que a ordem dos vetores no produto vetorial afeta o sinal. Especificamente,
. Então:
Passo 3
Parte (b):
Usando a propriedade ciclíca do produto escalar triplo, temos:
Passo 4
Parte ©:
Primeiro, multiplicamos o vetor por escalar:
Usando a propriedade anticomutativa:
Então:
Passo 5
Parte (d):
O produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero, porque
é perpendicular a
. Então:
Passo 6
Parte (e):
Primeiro, extraímos o escalar:
Usando a propriedade anticomutativa:
Então:
Passo 7
Parte (f):
Vamos distribuir o produto escalar:
Sabemos que
. Para a segunda parte:
Então:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) e
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
O produto vetorial é associativo? Isto é, vale
, para quaisquer vetores
e
do
? (Dica: experimente com os vetores
.)
Sabendo que
, calcular:
Verifique se os pontos dados em cada item abaixo são coplanares.
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©