Sabendo que , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá que . Esse tipo de expressão é conhecida como produto misto ou produto escalar triplo, que está relacionado com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . Para resolver as partes (a) a (f), vamos usar propriedades do produto misto, como a anticomutatividade e a distributividade.

Passo 2

Parte (a):
Primeiro, sabemos que a ordem dos vetores no produto vetorial afeta o sinal. Especificamente, . Então:

Passo 3

Parte (b):
Usando a propriedade ciclíca do produto escalar triplo, temos:

Passo 4

Parte ©:
Primeiro, multiplicamos o vetor por escalar:
Usando a propriedade anticomutativa:
Então:

Passo 5

Parte (d):
O produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero, porque é perpendicular a . Então:

Passo 6

Parte (e):
Primeiro, extraímos o escalar:
Usando a propriedade anticomutativa:
Então:

Passo 7

Parte (f):
Vamos distribuir o produto escalar:
Sabemos que . Para a segunda parte:
Então:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

Exercícios relacionados

Dados os vetores e , calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) e
O produto vetorial é associativo? Isto é, vale , para quaisquer vetores e do ? (Dica: experimente com os vetores .)
Sabendo que , calcular:
Verifique se os pontos dados em cada item abaixo são coplanares.
(a)
(b)
© .